VIERTE FOLGE. BAND 49.

p.769 (uit het originele artikel)

De grondslag
van de algemene relativiteitstheorie;
door A. Einstein.
__________________________

De theorie die ik hier presenteer, vormt bij mijn weten de meest vergaande veralgemenisering van de theorie die tegenwoordig gewoonlijk als de relativiteitstheorie wordt aangeduid; deze laatste wil ik echter in het vervolg de "speciale relativiteitstheorie" noemen om hem te onderscheiden van de in dit artikel te bespreken veralgemenisering van de relativiteitstheorie. Ik ga er van uit dat u met de speciale relativiteitstheorie bekend bent. De veralgemenisering van de relativiteitstheorie werd een stuk gemakkelijker gemaakt door de vorm die de wiskundige Minkowski aan de speciale relativiteitstheorie had gegeven. Deze doorzag als eerste scherp de formele gelijkwaardigheid van de ruimtelijke coördinaten en de tijdcoördinaat en maakte dit idee bruikbaar voor de verdere ontwikkeling van de theorie. De voor de algemene relativiteitstheorie benodigde wiskundige hulpmiddelen lagen panklaar te wachten in de "absolute differentiaalrekening" , die berust op het onderzoek van Gauss, Riemann en Christoffel naar de meetkunde van gekromde ruimten, en die door Ricci en Levi–Civita tot één wiskundige theorie was opgebouwd. Die theorie wordt inmiddels toegepast op problemen uit de theoretische natuurkunde. Ik heb in deel B van dit artikel alle benodigde wiskundige hulpmiddelen, die bij natuurkundigen niet algemeen bekend zijn, op een zo eenvoudig mogelijke en heldere manier uiteengezet, zodat het voor het begrijpen van de hier volgende verhandeling niet nodig is de wiskundige literatuur in te duiken. Tenslotte wil ik op deze plaats mijn dankbaarheid tegenover mijn vriend, de wiskundige Grossmann, betuigen, die mij door zijn hulp, niet alleen een hele studie van de desbetreffende wiskundige literatuur bespaarde, maar mij ook steun verleende bij het zoeken naar de veldvergelijkingen van de zwaartekracht.

P.770
A. Principiële overwegingen bij het relativiteitsbeginsel.

§ 1.             Opmerkingen bij de speciale relativiteitstheorie.

Aan de speciale relativiteitstheorie ligt dezelfde aanname ten grondslag die ook nodig was voor de theorie van de mechanica die door Galilei en Newton werd ontwikkeld, namelijk: als een coördinatenstelsel K zo wordt gekozen dat met betrekking tot dit stelsel de natuurkundige wetten in hun eenvoudigste vorm gelden, dan gelden dezelfde wetten ook met betrekking tot ieder ander coördinatenstelsel K' dat ten opzichte van K een eenparige translatiebeweging uitvoert. Deze aanname noemen we het "speciale relativiteitsbeginsel". Met het woord "speciaal" wordt bedoeld dat de aanname alleen geldt voor die gevallen waarbij K' een eenparige translatiebeweging uitvoert ten opzichte van K . De gelijkwaardigheid van K' en K geldt dus niet voor de situatie waarbij K' niet–eenparig beweegt ten opzichte van K.

De speciale relativiteitstheorie verschilt dus niet van de klassieke mechanica vanwege het relativiteitsbeginsel, maar uitsluitend vanwege de aanname dat de lichtsnelheid een constante waarde heeft in het vacuüm. Tezamen met het relativiteitsbeginsel is hieruit op de bekende wijze de relativiteit van de gelijktijdigheid en de Lorentztransformatie af te leiden alsmede de hieraan verbonden wetten over het fysische gedrag van bewegende starre voorwerpen en van klokken.

            De invloed die de speciale relativiteitstheorie op de theorieën over ruimte en tijd heeft gehad, ging weliswaar heel ver, maar één belangrijk punt bleef overeind. Namelijk, ook volgens de speciale relativiteitstheorie moeten de mogelijke relatieve posities van (rustende) vaste voorwerpen onverkort aan de stellingen uit de meetkunde voldoen, stellingen die dus als wetten moeten worden uitgelegd. Algemener gesteld: de wetten van de bewegingsleer zijn de wetten die het fysisch gedrag van meetstaven en klokken beschrijven. Als we twee specifieke materiële punten van een in rust verkerend (onvervormbaar) voorwerp beschouwen, hoort hier altijd een afstand van een zeer bepaalde lengte bij, onafhankelijk van de plaats en oriëntatie van het voorwerp of van de tijd; bij twee specifieke tijdsaanduidingen van een ten opzichte van het (bijbehorende) referentiestelsel in rust verkerende klok hoort altijd een tijdsduur van een bepaalde lengte, onafhankelijk van de plaats van de waarneming of wanneer de waarneming plaatsvond. Het zal spoedig duidelijk worden dat in de algemene relativiteitstheorie niet aan deze eenvoudige natuurkundige interpretatie van ruimte en tijd kan worden vastgehouden.

p. 771

§2. De redenen die een uitbreiding van het relativiteitsbeginsel noodzakelijk maken.

                   De klassieke mechanica en in niet mindere mate de speciale relativiteitstheorie zijn behept met een kennistheoretische tekortkoming, die misschien voor de eerste keer door E. Mach duidelijk aan de orde is gesteld. Wij lichten dit toe met het volgende voorbeeld. Neem twee vloeibare voorwerpen in gedachten van dezelfde grootte en dezelfde soort die vrij in de ruimte zweven op een zeer grote afstand van elkaar (en van alle overige massa's) zodat slechts die zwaartekrachtcomponenten voor elk van de voorwerpen in beschouwing behoeven te worden genomen, die de bestanddelen van het voorwerp zelf onderling op elkaar uitoefenen. De afstand van de voorwerpen tot elkaar laten we onveranderlijk zijn. Onderlinge bewegingen van de bestanddelen van het voorwerp binnen het voorwerp doen zich niet voor. Maar iedere massa roteert – volgens een ten opzichte van de andere massa rustende waarnemer – met een constante hoeksnelheid om de verbindingslijn tussen de twee massa's (dit is dus een aantoonbare relatieve beweging van de massa's ten opzichte van elkaar). We stellen ons nu voor dat de oppervlakken van beide voorwerpen (S₁ en S₂) met behulp van (ten opzichte van deze oppervlakken in rust verkerende) meetlatten worden opgemeten; het opmerkelijke resultaat zou kunnen zijn dat het oppervlak van S₁ bolvormig is en dat het oppervlak van S₂ een omwentelingsellipsoïde is.

            We vragen ons nu af: wat kan de reden zijn dat de voorwerpen S₁ en S₂ zich zo verschillend gedragen? Een antwoord op deze vraag is uit oogpunt van de kennisleer slechts dan aanvaardbaar als de aangegeven oorzaak een waarneembaar ervaringsfeit is. De wet van oorzaak en gevolg is immers alleen dan toepasbaar als uitspraak over de ervaringswereld wanneer als oorzaak en gevolg, goed beschouwd, slechts waarneembare feiten optreden.

Opmerking van Einstein:
Een dergelijk, volgens de kennisleer acceptabel antwoord, kan uiteraard altijd nog natuurkundig onjuist zijn als het in tegenspraak is met andere ervaringen.

De mechanica van Newton geeft op de gestelde vraag geen bevredigend antwoord. Die zegt namelijk het volgende: de wetten van de mechanica gelden wel voor een ruimte R₁ ten opzichte waarvan het voorwerp S₁ in rust is, echter niet ten opzichte van een ruimte R₂ , ten opzichte waarvan S₂ in rust is. Dat in deze redenering de ruimte R₁ als een bevoorrechte (Galileïsche) ruimte ten opzichte van R₂ moet worden opgevat, is pure speculatie. Het is geen waarneembaar feit. Het is dus duidelijk dat de mechanica van Newton in het beschouwde geval niet in werkelijkheid doch slechts

p.772
in schijn aan de eis van causaliteit voldoet wanneer de louter speculatieve oorzaak, de bevoorrechte ruimte R₁ , voor het waarneembare verschillende gedrag van de voorwerpen S₁ en S₂ verantwoordelijk wordt gesteld.

            Een bevredigend antwoord op de hierboven gestelde vraag kan slechts luiden: het uitsluitend uit S₁ en S₂ bestaande natuurkundige systeem laat op zich geen enkele denkbare oorzaak zien waarmee het verschillende gedrag van S₁ en S₂ kan worden verklaard. De oorzaak moet dientengevolge buiten dit systeem liggen. Men komt zo tot het inzicht dat de algemene bewegingswetten die in dit speciale geval de vorm van S₁ en S₂ bepalen, zodanig moeten zijn dat het mechanische gedrag van S₁ en S₂ onmiskenbaar door de ver verwijderde massa's, die wij niet tot het beschouwde systeem hadden gerekend, wordt beïnvloed. Deze massa's op verre afstand (en hun relatieve beweging ten opzichte van de beschouwde voorwerpen) kunnen dan worden opgevat als de dragers van een in principe waarneembare oorzaak voor het verschillende gedrag van de twee voorwerpen; zij nemen de rol over van de oorzaak die gevonden werd in het speculatief bevoorrechten van ruimte R₁. Van alle denkbare, relatief ten opzichte van elkaar willekeurig bewegende ruimten R_1,R₂enzovoort, mag er dus niet één a-priori als bevoorrecht worden opgevat opdat het eerder genoemde bezwaar vanuit de kennistheorie niet opnieuw om de hoek komt kijken.    De wetten van de natuurkunde moeten een zodanige vorm hebben dat ze ten opzichte van elk willekeurig bewegend referentiesysteem geldig zijn.   We verkrijgen dus op deze manier een uitbreiding van het relativiteitsbeginsel.

            Echter, naast dit op de kennisleer gebaseerde zwaarwegende argument, pleit ook - als tweede voorbeeld - een welbekend natuurkundig feit voor een uitbreiding van de relativiteitstheorie. Laat K een Galileïsch referentiestelsel zijn, dat wil zeggen, een stelsel, ten opzichte waarvan (tenminste in het beschouwde vierdimensionale gebied) een massa die voldoende ver verwijderd is van andere massa's, zich rechtlijnig en eenparig beweegt. Laat K' een tweede coördinatenstelsel zijn dat ten opzichte van K in een eenparig versnelde translatiebeweging verkeert. Ten opzichte van K' voert dan zo'n massa die voldoende ver van andere massa's is verwijderd een versnelde beweging uit, zodanig dat zijn versnelling en de richting van de versnelling onafhankelijk zijn van zijn stoffelijke samenstelling en zijn natuurkundige toestand.

            Kan een ten opzichte van K' in rust verkerende waarnemer hieruit

p.773
de conclusie trekken dat hij zich op een "werkelijk" versneld referentiesysteem bevindt? Deze vraag moet met "nee" worden beantwoord, want het genoemde gedrag van de vrij bewegende massa ten opzichte van K' kan evengoed op de volgende wijze worden uitgelegd. Het referentiesysteem K' verkeert niet in versnelling; maar in het beschouwde tijdruimte–gebied heerst een zwaartekrachtveld, dat de versnelde beweging van de voorwerpen ten opzichte van K' veroorzaakt.

            Deze opvatting is gerechtvaardigd omdat we uit de praktijk een krachtenveld kennen (namelijk dat van de zwaartekracht) dat de bijzondere eigenschap heeft alle voorwerpen dezelfde versnelling te laten ondergaan.

Opmerking van Einstein:
Dat het zwaartekrachtveld deze eigenschap met grote nauwkeurigheid bezit, heeft Eötvös experimenteel bewezen

Het mechanische gedrag van de voorwerpen ten opzichte van K' is volgens onze ervaring hetzelfde als ten opzichte van stelsels die wij gewoonlijk als "in rust" of als "het bevoorrechte stelsel" beschouwen. Daarom ligt het vanuit natuurkundig standpunt bezien voor de hand om aan te nemen dat de stelsels K en K' beide met hetzelfde recht als een stelsel "in rust" kunnen worden beschouwd, met andere woorden dat ze voor de natuurkundige beschrijving van de gebeurtenissen gelijkwaardig zijn.

Uit deze overwegingen ziet men dat de ontwikkeling van de Algemene Relativiteitstheorie tevens tot een theorie voor de zwaartekracht moet leiden want men kan door simpelweg een ander coördinatenstelsel te kiezen een zwaartekrachtveld "opwekken". Zo zal men ook direct begrijpen dat het principe van de constante lichtsnelheid in vacuüm moet worden aangepast want men ziet gemakkelijk in dat de baan van een lichtstraal in K' in het algemeen een kromme moet zijn als de lichtstraal zich met betrekking tot K rechtlijnig en met een bepaalde, constante snelheid voortplant.

de conclusie trekken dat hij zich op een "werkelijk" versneld referentiesysteem bevindt? Deze vraag moet met "nee" worden beantwoord, want het genoemde gedrag van vrij bewegende massa's ten opzichte van K' kan evengoed op de volgende wijze worden uitgelegd. Het referentiesysteem K' verkeert niet in versnelling; maar in het beschouwde tijdruimte–gebied heerst een zwaartekrachtveld, dat de versnelde beweging van de voorwerpen ten opzichte van K' veroorzaakt.

Deze opvatting is ook toegestaan omdat we uit de praktijk een krachtenveld kennen (namelijk dat van de zwaartekracht) dat de bijzondere eigenschap heeft alle voorwerpen dezelfde versnelling te laten ondergaan .

Het mechanische gedrag van de voorwerpen ten opzichte van K' is volgens onze ervaring (*) hetzelfde als ten opzichte van stelsels die wij gewoonlijk als "in rust" of als "het bevoorrechte stelsel" beschouwen. Daarom ligt het vanuit natuurkundig standpunt bezien voor de hand om aan te nemen dat de stelsels K en K' beide met hetzelfde recht als een stelsel "in rust" kunnen worden beschouwd, met andere woorden dat ze voor de natuurkundige beschrijving van de gebeurtenissen gelijkwaardig zijn.

Uit deze overwegingen ziet men dat de ontwikkeling van de algemene relativiteitstheorie tevens tot een theorie voor de zwaartekracht moet leiden want men kan door simpelweg een ander coördinatenstelsel te kiezen een zwaartekrachtveld "opwekken". Zo zal men het er ook direct mee eens zijn dat het principe van de constante lichtsnelheid in vacuüm moet worden aangepast want men ziet gemakkelijk in dat de baan van een lichtstraal betrokken op K' in het algemeen een kromme moet zijn als het licht zich met betrekking tot K rechtlijnig en met een bepaalde, constante snelheid voortplant.