ART 3+4

§3. Het ruimte–tijd–continuüm. De eis van algemene covariantie voor de vergelijkingen die de algemene natuurwetten uitdrukken.

p.773

            In de klassieke mechanica zowel als in de speciale relativiteitstheorie hebben de coördinaten van de ruimte en de tijd een directe natuurkundige betekenis. Zo heeft de waarde x₁ van een puntgebeurtenis langs de X₁ – coördinaat een betekenis die we als volgt kunnen omschrijven:
p.774
je bepaalt eerst met behulp van onbuigzame rechte staven, volgens de regels van de euclidische meetkunde (de gewone meetkunde) de projectie van de puntgebeurtenis op de X₁ –as en vervolgens moet vanuit het beginpunt van het coördinatenstelsel een bepaalde meetlat, de eenheidsmeetlat, x₁ –maal op de (positieve) X₁–as worden afgepast om het projectiepunt te bereiken.
Zo kan de natuurkundige betekenis van een punt x₄ = t langs de X₄ – coördinaat worden omschreven als: je bepaalt op een ten opzichte van het coördinatenstelsel in rust opgestelde, met de puntgebeurtenis (praktisch) ruimtelijk samenvallende eenheidsklok, die in overeenstemming met bepaalde voorschriften correct loopt, het aantal   omlooptijden x₄ = t dat is afgelegd op het moment dat de puntgebeurtenis zich voordoet.

                            Opmerking van Einstein: "We nemen aan dat het geen probleem is de "gelijktijdigheid"   voor ruimtelijk dicht naast elkaar optredende gebeurtenissen, of – nauwkeuriger gezegd – voor dicht naast elkaar optredende gebeurtenissen (coïncidentie) in de ruimte–tijd , vast te stellen, zonder voor dit basisbegrip een definitie te geven"

            Deze opvatting over ruimte en tijd stond natuurkundigen altijd – meestal onbewust – voor de geest, wat duidelijk blijkt uit de rol die deze begrippen in de experimentele natuurkunde spelen; deze opvatting zal de lezer ook in gedachten hebben om het tweede voorbeeld van de voorgaande paragraaf te begrijpen. Wij zullen nu echter aantonen dat men niet langer aan deze opvatting kan vasthouden als men het beginsel van de algemene relativiteit wil laten gelden en dat deze denkwijze dan door een meer algemene moet worden vervangen, waarbij de speciale relativiteitstheorie zijn geldigheid uitsluitend behoudt als limietgeval in de afwezigheid van een zwaartekrachtveld.
            We gaan uit van een ruimte die vrij is van zwaartekrachtvelden en nemen daarbinnen een Galileïsch referentiestelsel K(x,y,z,t) aan en bovendien een ten opzichte van K eenparig roterend coördinatenstelsel K'(x', y',z', t'). De oorsprong van beide stelsels zowel als hun Z– assen laten we voortdurend samenvallen . Wij zullen aantonen dat ingeval van een ruimte–tijd meting in het stelsel K' de eerdergenoemde opvatting over de natuurkundige betekenis van lengte en tijd niet staande kan worden gehouden. Uit symmetrie–overwegingen is duidelijk dat een cirkel rond de oorsprong in het X–Y–vlak van K tegelijkertijd als een cirkel in het X'–Y'–vlak van K' kan worden opgevat. We stellen ons voor dat de omtrek en de diameter van deze cirkel met een ( ten opzichte van de straal oneindig kleine) eenheidsmeetlat opgemeten wordt en we bepalen het quotiënt uit beide meetresultaten. Zou men deze meting met een meetlat uitvoeren die ten opzichte van het Galileïsche stelsel
p.775
K in rust is dan zal men als quotiënt het getal π verkrijgen. Het resultaat van dezelfde bepaling aan de hand van metingen die zouden zijn uitgevoerd met een ten opzichte van het roterende stelsel K' in rust verkerende meetlat zou een getal opleveren dat groter is dan π. Dat is goed te begrijpen als je het gehele meetproces vanuit het stelsel–in–rust    K beschouwt en er rekening mee houdt dat als de meetlat langs de omtrek wordt gelegd deze een Lorentzcontractie ondergaat, maar als de meetlat in radiale richting wordt gelegd deze contractie niet optreedt. De euclidische meetkunde geldt dus niet met betrekking tot K'; de eerder vastgestelde opvatting over de directe natuurkundige betekenis van de coördinaten, die uitgaat van de geldigheid van de euclidische meetkunde, schiet dus tekort met betrekking tot het stelsel K'. Evenmin kan men in K' een tijd invoeren die aan de natuurkundige wensen voldoet met identieke klokken die ten opzichte van K' in rust zijn. Om dit in te zien, moet men zich zowel in de coördinatenoorsprong als bij de omtrek van de cirkel één van twee identieke klokken opgesteld denken die vanuit het stelsel–in–rust worden beschouwd. Volgens een bekend resultaat uit de speciale relativiteitstheorie loopt – bekeken vanuit K – de op de omtrek geplaatste klok langzamer dan de klok die in de oorsprong staat, omdat de eerste klok snelheid heeft en de andere klok niet. Een waarnemer die zich in de gemeenschappelijke oorsprong bevindt en die de mogelijkheid zou hebben om met behulp van licht de klok waar te nemen die zich bij de omtrek bevindt, zou dus de aan de omtrek opgestelde klok langzamer zien lopen dan de naast hem opgestelde klok. Omdat hij niet mag aannemen dat de lichtsnelheid langs de beschouwde weg expliciet van de tijd afhankelijk is, moet hij de waarneming zo interpreteren dat de klok bij de omtrek "werkelijk" langzamer loopt dan de klok die in de oorsprong staat. Hij zal er niet omheen kunnen de tijd zo te definiëren dat de loopsnelheid van een klok afhankelijk is van zijn plaats.
            We komen zo tot de conclusie dat het in de algemene relativiteitstheorie niet mogelijk is de ruimte– en tijdgrootheden zo te definiëren   dat ruimtelijke coördinatenverschillen rechtstreeks met de eenheidsmeetlat en coördinatenverschillen in de tijd rechtstreeks met een standaardklok kunnen worden gemeten.
            De tot nu toe gebruikte methode om in het tijd–ruimte–continuüm op een bepaalde wijze coördinaten aan te brengen, schiet dus tekort, en
p.776
het lijkt ook niet mogelijk een of ander bijzonder coördinatenstelsel voor de vierdimensionale wereld te vinden dat bij toepassing daarvan tot een simpele formulering van de natuurwetten zal leiden. We kunnen dan ook tot geen andere conclusie komen dan dat alle denkbare coördinatenstelsels als principieel gelijkwaardig moeten worden beschouwd voor de beschrijving van de natuurkundige wereld.

                          Opmerking van Einstein:
"Op de beperkingen, die de eisen van eenduidigheid en continuïteit met zich meebrengen, gaan we hier niet in"

Dit komt neer op de eis:

           De algemene natuurwetten moeten in vergelijkingen worden uitgedrukt die in alle coördinatenstelsels geldig zijn. Dat een vergelijking bij een coördinatentransformatie naar een ander coördinatenstelsel geldig blijft, heeft de naam covariantie. Met andere woorden: de natuurwetten dienen algemeen covariant te zijn.

            Het is duidelijk dat de natuurkunde die aan dit beginsel voldoet, ook recht doet aan het beginsel van de algemene relativiteitstheorie, want onder alle coördinatentransformaties vallen uiteraard ook die transformaties, die overeenkomen met alle mogelijke relatieve bewegingen van de (driedimensionale) coördinatenstelsels. Dat deze eis van algemene covariantie , die aan de ruimte en de tijd het laatste restje natuurkundige aanschouwelijkheid ontneemt, een eis is die de natuurkunde zelf stelt, is gebaseerd op de volgende overweging. Alles wat we vaststellen aangaande ruimte en tijd komt altijd neer op het bepalen van het samenvallen van iets in ruimte en tijd. Als bijvoorbeeld alles wat om ons heen gebeurt slechts zou bestaan uit de beweging van stoffelijke punten dan zou men, op de keper beschouwd , niets anders kunnen waarnemen dan de ontmoeting van twee of meer van deze punten. Ook de resultaten van onze metingen zijn niets anders dan het vaststellen van een dergelijke ontmoeting van stoffelijke punten van een meetlat met een ander stoffelijk punt, respectievelijk het samenvallen van de wijzers van een klok en de punten op de wijzerplaat of – als we met het oog iets waarnemen – op dezelfde plaats en tegelijkertijd plaatsvindende puntgebeurtenissen.
            Het gebruik van een referentiestelsel heeft geen ander doel dan het op een eenvoudige wijze kunnen beschrijven van wat zich allemaal voordoet aan zulke coïncidenties.   Men deelt de wereld in aan de hand van vier ruimte–tijd variabelen x₁, x₂, x₃, x₄ , zodanig dat iedere puntgebeurtenis met een stel waarden van de variabelen x₁……x₄ kan worden aangeduid. De coïncidentie van twee puntgebeurtenissen herkennen we uit het feit dat
p.777
voor elk van de puntgebeurtenissen hetzelfde stel waarden van de variabelen x₁……x₄ geldt; dat wil zeggen dat het samenvallen in tijd en plaats wordt gekenmerkt door het overeenkomen van de coördinaten. Als men in plaats van de variabelen x₁……x₄ in een nieuw coördinatenstelsel de variabelen x₁', x₂', x₃', x₄' invoert, die willekeurige functies zijn van het eerste stel variabelen, en waarbij een stel waarden in het ene stelsel eenduidig bij een stel waarden van het andere stelsel hoort, dan geeft het gelijk zijn van alle vier de coördinaten van twee puntgebeurtenissen in het nieuwe stelsel opnieuw uitdrukking aan het in ruimte en tijd samenvallen van de twee puntgebeurtenissen. Aangezien al onze natuurkundige ervaringen ten slotte terug te voeren zijn op dergelijke coïncidenties , is er geen enkele reden het ene coördinatenstelsel ten opzichte van het andere te bevoorrechten. Zo komen we eveneens op dezelfde eis van algemene covariantie uit.

§ 4       De relatie tussen de vier coördinaten die we verkrijgen uit
                                 ruimte en tijdmetingen.
              Een analytische uitdrukking voor het zwaartekrachtveld.

             Het is in deze verhandeling niet mijn bedoeling de algemene relativiteitstheorie zo formeel mogelijk met een minimum aan axioma's te presenteren. Het is juist mijn streven de theorie zo uit de doeken te doen dat de lezer zelf ervaart hoe van zelfsprekend en natuurlijk de ingeslagen weg is en dat de vóóronderstellingen die het fundament er van vormen in hoge mate aansluiten bij wat we al weten.
In die zin voer ik de volgende twee vóóronderstelling in:

*    Voor een oneindig klein vierdimensionaal gebied is de speciale relativiteitstheorie bij een geschikte coördinatenkeuze altijd geldig.

*     De toestand van versnelling van het oneindig kleine ("lokale") coördinatenstelsel moet hierbij zo worden gekozen, dat er geen zwaartekrachtveld optreedt; dat is voor een oneindig klein gebied altijd mogelijk. De ruimtelijke coördinaten zijn X₁ , X₂ , X₃ en de bijbehorende, met een geschikte klok gemeten, tijdcoördinaat is X_4.
Opmerking van Einstein:
"De eenheid van tijd moet zo worden gekozen dat de lichtsnelheid in vacuüm – gemeten in het "lokale" coördinatenstelsel – gelijk wordt aan 1"

Deze coördinaten hebben, indien we ons daarbij in gedachten ook een onbuigzaam en recht staafje als eenheidsmeetlat voorstellen, bij een gegeven oriëntering van het coördinatenstelsel een directe natuurkundige betekenis in de zin van de speciale relativiteitstheorie. Namelijk: de uitdrukking

(1) ds² = – dX₁² – dX₂²– dX₃² + dX₄²heeft dan volgens de speciale relativiteitstheorie een door ruimte– en tijdmetingen verkregen waarde die onafhankelijk is van hoe het lokale coördinatenstelsel wordt georiënteerd. We noemen ds de grootte van het "lijnelement" tussen twee oneindig dicht bijeen staande punten in de vierdimensionale ruimte. Als de bij het element (dX₁ ….. dX₄) behorende ds² positief is, dan noemen we in navolging van Minkowski ds ² tijdachtig en in het tegenovergestelde geval ruimteachtig.

Bij het beschouwde "lijnelement", of bij de twee oneindig dicht bij elkaar staande puntgebeurtenissen, behoren ook zekere differentialen dx₁……dx₄ van de vierdimensionale coördinaten van een gekozen referentiestelsel. Als deze differentialen, evenals een eerder genoemd "lokaal" stelsel, voor de beschouwde plaats zijn gegeven, dan kunnen de dX_ν door zekere lineaire, homogene uitdrukkingen van de differentialen dx_σ worden voorgesteld:

(2)

(3)
waarbij de elementen g_στ functies van de x_σ zullen zijn, die niet meer van de oriëntatie en de bewegingstoestand van het "lokale" coördinatenstelsel kunnen afhangen. Immers, de waarde ds ² , die behoort bij de beschouwde, in de ruimte–tijd oneindig dicht bijeen liggende puntgebeurtenissen, heeft een grootte die te vinden is met meetlatten en klokken, die niet afhangt van welke specifieke coördinatenkeuze dan ook. We nemen aan dat voor de g_στ geldt dat g_στ = g_τσ . De sommatie strekt zich uit over alle waarden van σ en τ, zodat de totale som uit 4 x 4 sommaties bestaat, waarvan er 12 paarsgewijs gelijk zijn.

Uit deze beschouwingswijze vinden we de speciale relativiteitstheorie terug als het , op grond van de specifieke eigenschappen van de g_στ in een eindig gebied , mogelijk is het referentiesysteem voor dit gebied zo kiezen dat de g_στ de volgende constante waarden aannemen.

(4)

p.779
We zullen later zien dat voor eindige gebieden de keuze van een dergelijke coördinatenstelsel in het algemeen niet mogelijk is.

Uit de beschouwingen van § 2 en § 3 blijkt dat de grootheden g_στ vanuit natuurkundig standpunt als die grootheden moeten worden beschouwd die het zwaartekrachtveld met betrekking tot het gekozen referentiesysteem beschrijven. Als we namelijk om te beginnen eens aannemen dat voor een zeker vierdimensionaal gebied bij de keuze van geschikte coördinaten de speciale relativiteitstheorie geldig is, dan hebben de g_στ de in (4) gegeven waarden. Een geheel aan zichzelf overgelaten stoffelijk punt beweegt zich dan met betrekking tot dit stelsel eenparig en rechtlijnig. Wanneer men nu door een willekeurige substitutie overgaat op nieuwe ruimte–tijd–coördinaten x₁ ….. x₄ , dan zullen in dit nieuwe stelsel de g_μτ geen constanten, maar functies van ruimte en tijd zijn. Tegelijkertijd zal de beweging van het vrije massapunt in dit nieuwe coördinatenstelsel in het algemeen kromlijnige en niet eenparige zijn, waarbij de wet waaraan de beweging moet voldoen onafhankelijk is van de stoffelijke samenstelling van het bewegende massapunt. We zullen deze beweging dus moeten uitleggen als een beweging onder invloed van een zwaartekrachtveld. Samenhangend met een ruimte–tijd afhankelijkheid van de g_στ nemen we dus het optreden van een zwaartekrachtveld waar. Ook in het algemene geval waarbij we de geldigheid van de speciale relativiteitstheorie niet in een eindig gebied door een passende keuze van het coördinatenstelsel kunnen bewerkstelligen, zullen we moeten blijven vasthouden aan het uitgangspunt dat de g_στ het zwaartekrachtveld beschrijven.
De zwaartekracht neemt dus volgens de algemene relativiteitstheorie een uitzonderlijke rol in naast de overige krachten, in het bijzonder de elektromagnetische krachten, aangezien de 10 functies g_στ die het zwaartekrachtveld beschrijven tegelijkertijd de metrische eigenschappen van de vierdimensionale meetbare ruimte bepalen.