§4 Natuurkundige betekenis.

Gefeliciteerd, je hebt niet willen onderdoen voor Einstein en je hebt zo maar de transformatieformules afgeleid.

De formules worden de Lorentztransformaties genoemd.

Een fantastische prestatie! Je ziet er nog een beetje bleek van. Het was ook niet niks, maar je hebt nu de sleutels in handen om van het stelsel-in-rust naar het stelsel-in-beweging te gaan en terug.

Wat is de betekenis daarvan? Is het bruikbaar? Wat gaan we er mee doen?

Laten we het even rustig overdenken.

De coördinaten (x , y , z , t) zijn onze coördinaten, die van het stelsel-in-rust. De coördinaten (ξ , η , ζ , τ) zijn de coördinaten van de cowboys, die van het stelsel-in-beweging. Als wij iets waarnemen in het bewegende stelsel, dan nemen we de plaats en de tijd waar van de gebeurtenis met onze coördinaten (x , y , z , t) en we kunnen ze omrekenen met de transformatieformules naar de coördinaten van de cowboys: (ξ , η , ζ , τ).

In het algemeen geldt in een coördinatenstelsel dat als ik de waarde van de vier coördinaten ken, je de waarde kan weergeven als een punt in het coördinatenstelsel. Een "puntgebeurtenis" wordt dat genoemd. De plaats en het tijdstip van de puntgebeurtenis liggen vast.

Een natuurkundig verschijnsel bestaat uit een verzameling puntgebeurtenissen. Bijvoorbeeld de baan van een opgeworpen munt bestaat uit alle punten waar de munt langskomt. Dat zijn er oneindig veel. De baan moet worden beschreven als een functie van de tijd zodat ieder tijdstip aan bod kan komen.

Een gebeurtenis vindt altijd plaats in beide stelsels, want ieder stelsel strekt zich uit over de gehele ruimte. We kunnen de gebeurtenis dus beschrijven vanuit beide stelsels. We kunnen een gebeurtenis die we hebben beschreven met (x , y , z , t) omrekenen met behulp van de transformatieformules naar de coördinaten (ξ , η , ζ , τ) van het andere stelsel of omgekeerd.

De plaats van de oorsprong van ieder van de coördinatenstelsels is een keuze. Je moet, om een verwarring te voorkomen, een afspraak maken over de keuze van de plaats waar x, y en z nul zijn, de oorsprong. Het is geen moeilijke keuze want ieder punt mag er voor worden genomen, dus we nemen altijd een handig punt. Bijvoorbeeld het beginpunt van een beweging of een punt vlak voor onze voeten of het centrum van de aarde. Het hangt af van de gebeurtenis die je wil beschrijven. Ook de richting van de assen is een keuze: de richting van de x–as laten we samenvallen met de bewegingsrichting van het stelsel-in-beweging, in een tekening meestal horizontaal van links naar rechts, de z–as horizontaal vanaf de x–as gezien recht op ons af en de y–as recht omhoog (zie fig 3.02). De assen van het stelsel-in-beweging hebben dezelfde richting als de assen van het stelsel-in-rust. De oorsprong van het stelsel-in-beweging wordt zo gekozen dat hij op enig moment samenvalt met de oorsprong van het stelsel-in-rust en verder langs de x–as van het stelsel-in-beweging schuift.

Zo is het ook met de tijd. Je moet een bepaald moment kiezen als het tijdstip nul. We spreken af dat t = τ = 0 op het moment dat de oorsprong van het ene stelsel die van het andere stelsel passeert.

De lengte van de balk zien wij (van het stelsel-in-rust) verkort ten opzichte van eenzelfde balk die zich op een vaste plaats in het stelsel-in-rust zou bevinden. Dat hadden we al geconstateerd na de schietoefening van de cowboys. Met de tijd was ook iets aan de hand. Nu we de transformatieformules hebben gevonden, gaan we uitzoeken hoe het precies zit met de lengte van een voorwerp en met de tijd in het stelsel-in-beweging.

Hier zijn de formules nog een keer:

             η = y                 ζ = z                        

De afleiding die Einstein hiervoor gaf, was wel wat ingewikkeld. In §2plus kwamen we aanmerkelijk sneller tot de transformatieformules voor ξ en τ. 

Nadere uitleg p.903

We kijken vervolgens mee met Einstein, de grote magiër. Hij laat ons in gedachten twee verbazingwekkende experimenten uitvoeren: één gaat over de afmetingen van een voorwerp en de ander over het tikken van de tijd.

Hij neemt als voorwerp een bol. Die kennen we nog ( naar het eind van §3) . Voor het oppervlak van een bol geldt:

                    x² + y² + z² = R²                      

Deze formule geldt voor een bol-in-rust ten opzichte van het stelsel-in-rust. Einstein wil nu een voorbijvliegende bol bekijken die zich precies in de oorsprong bevindt van het stelsel-in-bewéging. Voor de cowboys die meereizen met de bol is het gewoon een bol! Maar hoe ziet de bol er voor ons uit?

Uitgedrukt in de coördinaten van het stelsel-in-beweging moet voor het oppervlak van de bol gelden:

                    ξ² + η² + ζ² = R²

Hoe wij de bewegende bol zien, kunnen we berekenen door de transformatie van het stelsel-in-beweging naar het stelsel-in-rust uit te voeren. De transformatieformules zijn:

Deze willen we invullen in de bovengenoemde formule voor een boloppervlak.

Op welk tijdstip bekijken we de passerende bol? Op het tijdstip t = 0, als de bol door de oorsprong van het stelsel-in-rust gaat, dat is veruit het makkelijkste, want dan verkrijg je:

ξ = γ . x     met     γ =

Je zou je kunnen afvragen of het wel correct is om de bol alleen op het tijdstip t = 0 te beschouwen, maar het tijdstip t = 0 is een volstrekt willekeurig tijdstip. Je wil er alleen maar mee zeggen: "Nu gaan we de bol bekijken".  Dus t = 0 kan overal zijn.

We vullen in:

Dit wijkt behoorlijk af van de eerst genoemde formule voor een boloppervlak. Maar, dan is het geen bol!

Voor x = 0 én y = 0 geldt weliswaar nog steeds z = R en voor x = 0 én z = 0 geldt y = R , maar voor y = 0 én z = 0 geldt nu:

Hieruit blijkt dat we in ons coördinatenstelsel niet meer met een echte bol van doen hebben! Voor y = 0 en z = 0 wordt x gelijk aan x = . Dat is minder dan R. Alle waarden van x aan het oppervlak van de bol zijn met de factor γ kleiner geworden. De bol is geen zuivere, ronde bol meer (zie figuur 400)! Hij is in de bewegingsrichting korter geworden, terwijl in de y–richting en de z–richting de afmetingen gelijk zijn gebleven. Het is een afgeplatte bol of, met een mooi woord: een omwentelingsellipsoïde, een ellips die om zijn as werd rondgedraaid. Hoe groter de snelheid v, hoe sterker de afplatting.

Figuur 400 Afgeplatte bol verkort in de bewegingsrichting (Van een aantal belangrijke punten zijn de coördinaten weergegeven).

 

"Geldt dit alleen voor een boloppervlak?"

Het voorbeeld van de bol geeft een duidelijk beeld van het gevolg van de vormverandering voor een voorwerp. De verkorting treedt uitsluitend in de x–richting op. Een rugbybal zou bij zekere snelheid, als hij met de punt naar voren beweegt, een kleine voetbal kunnen worden.

De waarde kennen we nog van "de driehoeken met de bekende verhoudingen" maar ook als 1/γ . Je ziet hieruit dat als v de lichtsnelheid c nadert, de waarde naar nul gaat. Je houdt van de afmeting in de bewegingsrichting bijna niets meer over. Het voorwerp wordt in de x–richting plat. Een ronde kogel ziet er uit als een discus die op zijn kant door de lucht vliegt. Een bol Duits brood lijkt een plat Turks brood. Een rugbybal lijkt op een voetbal (zie fig. 401).

Een cowboy ziet er onverwacht slank uit. Als een magere lat.

Als de bol bijna de lichtsnelheid zou hebben, wordt hij dus sterk afgeplat waargenomen. Stel je eens voor dat je zelf op dat voorwerp zat zodat je jezelf als stilstaand beschouwde. Dan keek je om je heen naar een wereld die met bijna de lichtsnelheid aan jou voorbij zou razen. Die wereld zou uit platte objecten bestaan die uit een bijna platte einder op zouden duiken om achter je in een platte achtergrond te verdwijnen. Ook de afstanden in de bewegingsrichting zouden worden afgeplat. Alles zou zeer dichtbij zijn. Voor v = c wordt zelfs alles plat! Iedere afstand in de bewegingsrichting is dan in een mum van tijd te overbruggen.

Einstein stelt: "Voor snelheden groter dan de lichtsnelheid verliezen onze overwegingen hun zin". Dat is duidelijk, want dan zou de factor de wortel uit een negatief getal worden. Die bestaat niet zolang we het over reële getallen hebben.
Hij geeft tevens aan dat, natuurkundig gezien, de lichtsnelheid oneindig is. Een voorwerp dat zich met de lichtsnelheid van ons verwijdert, kan nooit meer worden ingehaald, zelfs niet door een lichtstraal. Je kan het ook zo zien: het overbruggen van een willekeurig grote afstand kost een lichtsignaal geen tijd omdat de afstand in het stelsel met de lichtsnelheid tot nul wordt teruggebracht. Voor het lichtsignaal komt dat op hetzelfde neer als het hebben van een oneindig grote snelheid.

Snelheid heeft dus, zoals we al vaker zagen, niet alleen invloed op de afmetingen van een voorwerp, maar ook op de tijd.

Uit de formule voor de tijd  zou je misschien verwachten, vanwege de vorm–overeenkomst met de formule voor de plaats ξ = γ . (x – v . t), dat de tijd op dezelfde wijze krimpt als de afmeting in de x–richting.

Volstrekt fout gedacht!

Dat is niet erg, want het zit gemeen in elkaar.

In de formule voor ξ is de uitdrukking v . t gewoon een afstand die je van x aftrekt. De uitdrukking x – v.t is de constante lengte van de balk in het stelsel–in–rust zonder rekening te houden met het effect op de lengte door de snelheid (het relativistische effect).

In de formule van τ vormt . x weliswaar ook een tijd die in mindering wordt gebracht op t , maar de uitdrukking is zelf weer afhankelijk van t omdat x toeneemt met de tijd t. Voor een stilstaand voorwerp in het stelsel-in-beweging neemt x dan ook iedere seconde met de waarde v toe. Dan blijkt τ uiteindelijk juist kleiner te worden dan t ! Voor de uitleg volgen we Einstein die dit duidelijk maakt aan de hand van een gedachte-experiment. Het gaat over klokken. 
Als we het niet dachten!

Einstein gaat uit van twee klokken die in het stelsel-in-rust exact de tijd t en in het stelsel-in-beweging exact de tijd τ aangeven. Twee zeer betrouwbare klokken dus. Hij laat één klok door de cowboys neerzetten in de oorsprong van het stelsel-in-beweging. Die geeft de tijd τ aan. De andere klok, die de tijd t aangeeft, houden we zelf in het stelsel-in-rust. De oorsprong van het stelsel-in-beweging valt op zeker moment samen met de oorsprong van het stelsel-in-rust. Op dat moment zetten we de klokken op nul: t = τ = 0 . Na enige tijd t , gezien vanuit het stelsel-in-rust, bevindt de oorsprong van het stelsel-in-beweging zich op een afstand van de oorsprong van het stelsel-in-rust. Deze plaats is bijvoorbeeld gemarkeerd door een streep op de grond. Het is een afstand zoals we die in het stelsel-in-rust waarnemen. Nu gaan we de transformatieformule voor τ toepassen. Voor x mogen we het product v . t invullen en voor γ staat , dus :

Neem de twee " v ’s " die achterin de uitdrukking voorkomen samen en je krijgt:

Haal vervolgens t buiten haakjes en bedenk dat (1 - v²/c²) het kwadraat is van , zodat je de termen op elkaar kunt delen:

                     
Dit is nog steeds gelijk aan τ .

Omdat volgt eruit dat gelijk is aan 1 / γ .

Het eindresultaat wordt dus:

                    τ = t /γ

Omdat γ groter of gelijk is aan één moet de tijd τ kleiner zijn dan de tijd t . De klok geeft minder tijd aan. De klok loopt langzamer! Omdat de oorsprong willekeurig is gekozen geldt dit voor iedere klok die meereist met het stelsel-in-beweging. Alle klokken in een stelsel-in-beweging lopen langzamer dan dezelfde klokken in het stelsel-in-rust. De afmeting in de bewegingsrichting van een voorwerp neemt af als je het bekijkt vanuit het stelsel–in–rust, maar een gebeurtenis in het stelsel-in-beweging vraagt volgens onze maatstaven meer tijd.

Als bijvoorbeeld γ = 2 , dan zouden we waarnemen dat een klok, die zich in het stelsel-in-beweging bevindt en waarvan bekend is dat hij iedere seconde een tik hoort te geven, slechts om de twee seconde een tik geeft. De tijd gaat half zo snel. In het stelsel-in-beweging is de tijdsduur één seconde, in het stelsel-in-rust is de tijdsduur van deze gebeurtenis twee seconde. De tijdsduur is langer geworden, de tijd is in de lengte uitgesmeerd. 

Een tragere tijd. Wat kan je je daarbij voorstellen:
Vanuit een nabijgelegen punt kijken de twee cowboys vanuit een vliegende schotel naar de aarde en ze constateren dat de aarde in 24 uur om zijn as draait. Ze besluiten om als eenheid van tijd de seconde te nemen, 1/60 maal 1/60 maal 1/24 van de omwentelingstijd van de aarde.

Na vele omzwervingen passeert de vliegende schotel opnieuw de aarde, maar nu met een zo grote snelheid, dat de tijd er nog maar 2/3  zo snel gaat als bij ons. Wij hebben dat kunnen meten aan de hand van radioboodschappen die we kregen. We moesten ze versneld afdraaien om iets te verstaan.

We moeten ons hierbij een passage op grote afstand voorstellen waarbij tijdens de periode van het contact de afstand niet noemenswaard verandert, anders krijgen we verstorende effecten doordat we de radioboodschap tegemoet snellen of ons er vandaan bewegen: zogenaamde Dopplereffecten¹).

Maar volgens de cowboys, die hun vliegende schotel als stelsel-in-rust beschouwen, gaat de tijd bij de aarde juist tweederde zo snel als bij hen! Dus trager. Alles gaat bij de aarde anderhalf keer zo traag volgens de cowboys. Ook de omwenteling van de aarde. Zij zien met hun klok in de hand dat de aarde in 36 uur om zijn as draait.

Vanaf de aarde hebben wij hun meting gevolgd omdat de cowboys zo vriendelijk waren een fotoserie toe te zenden van de ronddraaiende aarde met de tijdaanwijzingen van hun klok.

"Zijn ze nou gek geworden", is onze eerste reactie, "zo langzaam draait onze aarde niet, dat weet iedereen. Ze halen een geintje met ons uit. Tenzij een seconde daar slechts 2/3 van onze seconde is. Hun klokken zouden dan sneller tikken dan bij ons. Zo kan je aan 36 uur komen. Nou, wij weten wel beter, het is net andersom! Hun klok tikt trager dan de onze!"

Hun wereld is vertraagd volgens onze opvatting en onze wereld is vertraagd volgens hun opvatting. Het lijkt op de ongrijpbare, eeuwig stromende waterval in de gravure van Maurits Cornelis Escher , de kunstenaar die graag in het platte vlak de draak stak  met de driedimensonale wereld. Deze tekening geeft daar een idee van.

In de paragraaf Uitleg 2plus  is dit probleem al aan de orde geweest. Daar ging het om twee zeer lange balken die met een snelheid van 0,6 x lichtsnelheid langs elkaar schoven. Nu echter gaat het om twee punten (klokken) die op grote afstand langs elkaar vliegen. De ene klok loopt achter op de ander terwijl de andere klok achter loopt op de één. Ra, ra, hoe kan dat.
Het probleem is hetzelfde. De ene klok bevindt zich in een ander stelsel dan de andere. De "tijd" van elk van beide stelsels is de tijd die wordt aangegeven door de klok die zich in de oorsprong van het betreffende stelsel bevindt. De klokken worden op zeker moment gelijk gezet. Op dat tijdstip geldt t = τ = 0. De redenering blijft: als je met de ene klok meebeweegt, loopt de andere klok achter en omgekeerd

Nog even nababbelen:

Het is waar dat de cowboys onze aarde langzamer zien draaien. Ze vatten hun stelsel als het stelsel-in-rust op. Volgens hen lopen onze klokken langzamer. Hun klok meet 36 uur tijd voor één draaiing van de aarde, de onze 24 uur. Zij nemen vanuit hun stelsel een langzaam draaiende aarde waar. Een aardse seconde duurt volgens hen anderhalve seconde. Volgens de cowboys gaan wij minder snel door de tijd heen.

Stel dat de cowboys er met dezelfde snelheid met een tweelingplaneet aarde vandoor waren gegaan. Een planeet die ook in 24 uur om zijn as draaide. Wij zouden hun planeet ook in 36 uur rond zijn as zien draaien. Een cowboyseconde duurt volgens ons dan anderhalve seconde. Precies andersom dus. Volgens ons gaan de cowboys minder snel door de tijd heen.

Het heeft iets weg van een verkleinende lens. Of je er van de ene kant doorheen kijkt of van de andere kant, het achterliggende is altijd verkleind.

Het is raar spul, die tijd.

Om precies te kunnen berekenen hoeveel de klok in het stelsel-in-beweging langzamer loopt dan de klok in het stelsel-in-rust schrijft Einstein het resultaat iets anders op:

Hij telt er t bij op en trekt er t van af: t – t = 0 , dus dat mag. Het maakt niks uit. Maar hij doet er wel iets mee: hij brengt t in de tweede en de derde term buiten haakjes en zet die t daarna helemaal achteraan:

Hiermee kan hij ons precies vertellen hoeveel de klok na één seconde achterloopt. Hij vult daartoe t = 1 in voor de tijd t .

Hoeveel loopt de klok in het stelsel-in-beweging nu na 1 seconde achter? Nou, precies de hoeveelheid tijd die tussen haakjes staat, want dat wordt van die voorste 1 afgetrokken, zoveel loopt die klok dus achter:

       seconde

Zolang we met snelheden te maken hebben die ver onder de lichtsnelheid blijven, is v²/c² een klein getal, veel kleiner dan één . Dan krijg je voor de uitdrukking een goede benadering, aangegeven met het ≈ teken,   met:

Dit kan je aantonen met een reeksontwikkeling, de Taylorreeks. Dan blijkt dat de term met en termen met nog hogere machten van worden verwaarloosd.

We kunnen de benadering ook aanschouwelijk maken. Wandel even mee langs de meetkundige route.

De hieronder getekende driehoek ABC (fig. 404) heeft de bekende verhoudingen: de schuine zijde AC = 1 , de korte rechthoekzijde en de lange rechthoekzijde. We cirkelen de lange rechthoekzijde om tot deze de schuine zijde snijdt. Dit punt noemen we S . De afstand van S tot het hoekpunt C wordt dan door de uitdrukking 1 – gegeven.
Vanuit B laten we vervolgens de loodlijn neer op AC . Dat levert het punt L op. We vinden nu twee met ABC gelijkvormige driehoeken ALB en BLC, waarin ook de bekende verhoudingen gelden.

Het stukje LC heeft daarom de lengte . Zoals je kunt zien, ligt S daar ongeveer halverwege op. Het stukje SC is dus ongeveer ½ . , waaruit blijkt  

                  1 –    ≈ ½ .             Dit wilden we laten zien.

Een klok in het stelsel-in-beweging loopt langzamer dan een klok in het stelsel-in-rust. Dit leidt tot de gevolgtrekking dat twee gelijklopende klokken, die zich in rust op enige afstand van elkaar bevinden, niet meer gelijklopen als de ene klok met een snelheid v bij de andere klok wordt gebracht. 
Als de verplaatsing t seconde duurt, blijkt de verplaatste klok met ½ ..t   seconde achter te lopen.

Daar keek zelfs Einstein verrast van op.  Hij noemt het "een eigenaardige consequentie" (zie de vertaling van §4).

Vaak denk je bij deze beschouwingen: "Wij zien de klok weliswaar trager lopen, maar dat is maar schijn want in het stelsel-in-beweging zelf loopt de klok goed. Het is eigenlijk optisch bedrog!"

Niets daarvan! De tijd gaat er echt langzamer. Als de klok na zijn verplaatsing bij ons is aangekomen, merk je dat het ding echt een stukje achterloopt (bij zeer nauwkeurig nameten).

De vraag die bij iedereen vroeg of laat opkomt, luidt: "Dat mag wel zo zijn, maar als je meereist met de klok die verplaatst wordt, dan moet toch juist de stilstaande klok trager lopen? Het gaat toch om relatieve bewegingen! Dus als ze weer bij elkaar komen, zouden ze allebei ten opzichte van de ander achter moeten lopen, dus weer gelijk moeten lopen. 

Dat klopt voor de periode dat de klok in een eenparige beweging is. Dan loopt elk van de klokken langzamer dan de andere klok, hoe gek dat ook klinkt, en ze lopen even snel.  Indien beide klokken met dezelfde snelheid naar elkaar toe zouden bewegen en op dezelfde wijze afgeremd zouden worden zodat ze naast elkaar zouden komen te staan, zouden ze wél gelijklopen. Maar als slechts één van de klokken in beweging komt, hebben de klokken ook een verschillende geschiedenis. De klok die verplaatst wordt, heeft eerst een versnelling ondergaan, beweegt dan een tijdlang met een constante snelheid en wordt tenslotte afgeremd. De andere klok blijft op zijn plaats. Dat maakt het hele verschil. Einstein bewees dit niet, dat bewijs kwam pas jaren later ¹.

In zijn algemeenheid wordt dit de tweelingenparadox genoemd: de tweeling die met de bewegende klok is meegereisd is bij zijn terugkomst jonger dan zijn ééneiige wederhelft. Zo is er nog een paradox (schijnbare tegenstrijdigheid) die door Ehrenfest (hoogleraar te Leiden) in (1909) naar voren is gebracht, nl. een snel roterende schijf krijgt een kortere omtrek terwijl zijn straal gelijk blijft. Einstein moest er het antwoord op schuldig blijven, maar hij wist in welke richting de oplossing moest worden gezocht.

Einstein bouwt vervolgens voort op het resultaat en beweert langs zijn neus weg dat je dit resultaat ook krijgt als je de klok via een veelhoek (fig. 405) van rechte lijnstukken, een polygoon, naar de ander brengt. Zijn snelheid moet wel v blijven en de tijd t is de som van de tijden per lijnstuk.

Je kan zelfs één klok via een willekeurige weg, die uit rechte lijnstukken bestaat, net zo lang verplaatsen tot hij weer op zijn oude plek naast de andere klok is teruggekeerd. Dan loopt hij eveneens achter met ½ . t . v²/c² seconde.

Fig. 405 Een weg van rechte lijnstukken

Tenslotte neemt Einstein aan dat wat voor een hoekige weg geldt ook wel zal gelden als de weg uit een vloeiende kromme bestaat en hij concludeert daaruit dat een klok op de evenaar achterloopt bij een klok op de pool. De klok op de evenaar heeft een snelheid v (ongeveer 460 m/s) ten opzichte van de klok bij de pool. Weliswaar in voortdurend veranderende richting, maar we nemen op gezag van Einstein aan dat het mag. De bewegende klok loopt dus na t seconde met ½ . t . v²/c² seconde achter.

Je kan voor de klokken in dit geval, zoals Einstein al aangaf, geen slingeruurwerk nemen omdat de slingertijd van zo’n klok afhankelijk is van de versnelling van de zwaartekracht en die is, zoals bekend, door de afplatting van de aarde bij de polen groter dan bij de evenaar. Bovendien speelt de middelpuntvliedende kracht aan de evenaar mee, dus moet je een klok nemen die niet afhangt van de zwaartekracht. Zo'n klok bestond ook en was gebaseerd op een "onrust", zo’n radertje dat met behulp van een spiraalvormig veertje heen en weer beweegt. De uitvinder van de onrust is onze landgenoot Christiaan Huygens (1629–1695)! Als je niet weet wat een onrust is, maak dan maar eens een oude wekker open of bezoek het Huygensmuseum Hofwijck in Rijswijk bij Den Haag!

Je zou de klokken ook op een zodanige hoogte kunnen neerzetten dat ze een even sterke versnelling van de zwaartekracht ondervinden. Dan maakt het niet uit welk type klok je gebruikt.

Einstein heeft ons een blik gegund op de mysteries rond lengte en tijd. Verwarring is ons deel. Wij blijven er nog wat over napraten. De vraag is: zijn er nog zekerheden in dit leven?
Jazeker, we geven er een paar.

Voor de volgende zekerheid bekijken we een voorbeeld. Vanuit het stelsel-in-rust gezien, is de snelheid van de cowboys op de balk gelijk aan v . Op t = 0 passeert de oorsprong van hun stelsel de oorsprong van ons stelsel. Op een afstand ℓ van de oorsprong in de richting van de positieve x–as van ons stelsel hebben we een merkstreep getrokken. 
Na hoeveel tijd passeert de oorsprong van het stelsel van de cowboys de merkstreep?

Antwoord: gewoon op het tijdstip t* = ℓ / v .

Welke snelheid heeft omgekeerd ons stelsel volgens de cowboys? 
Volgens hen duurt het τ = t* / γ seconde voor de streep wordt gepasseerd. Dat is minder tijd.

Vinden ze dan ook een andere snelheid? Deze vraag brengt ons tot de volgende zekerheid.

Probleem 1     Ruimtereizen.

Hoe lang het duurt voor een ruimteschip een ver verwijderd object bereikt?

Stel dat we het schip naar een ster op 4 lichtjaren afstand sturen met een snelheid v = 0,5 . c .

Een lichtjaar is de afstand is die het licht in een jaar aflegt volgens ons: volgens het stelsel-in-rust.

Het voorwerp zal er na 8 jaar aankomen (gezien vanuit ons stelsel).

De waarde van γ is bij die snelheid: γ = 1 / √(1-0,5²) = 1 / √(3/4) = 1,15 .

Voor het stelsel-in-beweging is de afstand korter: 4 / γ = 3,46 lichtjaar .

De snelheid van het stelsel-in-beweging ten opzichte van ons en de ster die we op het oog hadden, is ook 0,5 . c , zoals we net hebben laten zien.

De benodigde reistijd voor het ruimteschip is dan: 3,46 / 0,5 = 6,93 jaar. Ruim een jaar sneller!

Hoe sneller je gaat, hoe korter de afstand wordt. Bij het lopen van de marathon is dit niet van enige invloed!

Interessant is ook de vraag wat er onder een lichtjaar moet worden verstaan in het stelsel-in-beweging.

Een jaar in het stelsel-in-beweging duurt, als je het vanuit het stelsel-in-rust beschouwt, γ–keer langer en de afstand die bij een lichtjaar hoort, is dus navenant groter. Maar die afstand is, vanuit ons stelsel gezien, weer γ–keer kleiner, zodat de bijbehorende afstand voor ons hetzelfde blijft. Voor licht zelf is een lichtjaar een oneindig grote afstand omdat voor licht de tijd stilstaat.

 

De probleemstelling: we vroegen de cowboys om op een afgesproken moment een gat in het wegdek te schieten. Ze bevonden zich op een bewegende balk en ze hadden ieder een klok bij zich die gelijkliep met onze klokken. Dat kan je realiseren door overal waar ze langskomen onze klokken neer te zetten, zodat ze voortdurend hun klokken gelijk kunnen zetten met de onze. Als ze tegelijkertijd schoten, volgens ons, dachten de cowboys zelf dat ze niet gelijktijdig hadden geschoten. De afstand tussen de twee gaten in het wegdek was volgens ons de lengte van de balk want ze hadden gelijktijdig geschoten. De achterste cowboy vond echter dat de voorste te vroeg had geschoten en de voorste vond het allemaal niet zo belangrijk, maar na de meting was ook hij er van overtuigd dat de voorste klok voorliep op de achterste. Volgens beiden was de balk daarom langer dan de afstand die zich in het wegdek had afgetekend.

We kunnen eindelijk uitzoeken hoe lang de balk van de cowboys volgens ons is. We gebruiken de transformatieformule:

ξ = γ (x – v.t)

waarbij x de plaats is in het stelsel-in-rust en t de tijd in het stelsel-in-rust en v . t is de plaats van de oorsprong van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust als op t = 0 beide oorsprongen samenvallen.

In het stelsel-in-beweging heeft de balk een lengte ℓ. De afstand tussen het beginpunt B en het achterste punt A is dus uitgedrukt in de coördinaten van het stelsel-in-beweging:

ξ_B – ξ_A = ℓ

Gebruik de transformatieformule :

γ . ( x_B – v . t ) – γ . ( x_A – v . t ) = ℓ

Hieruit volgt :

x_B – x_A = ℓ / γ

Wil je dit even controleren?

De lengte van de balk, waargenomen vanuit het stelsel-in-rust, is γ keer kleiner dan in het stelsel-in-beweging dus om de lengte van de balk in het stelsel-in-beweging te vinden moet de gemeten waarde (x_B – x_A) met de factor γ worden vermenigvuldigd.

De problemen concentreerden zich echter vooral rond het tijdsverschil tussen de schoten van de beide revolverhelden.

Nu je weet dat de klokken in het stelsel-in-beweging trager lopen dan die in het stelsel-in-rust, denk je daarmee te kunnen berekenen hoeveel cowboy B , die vooraan op de balk zat, te vroeg schoot. Immers, zijn klok loopt met een factor γ te langzaam ten opzichte van de klokken in het stelsel-in-rust. Als de klokken van de cowboys gelijk zijn gezet met die van het stelsel-in-rust dan zullen na een tijd t de klokken van de cowboys t / γ aanwijzen. Dus als B zich aan de klokken van het stelsel-in-rust moet houden, zal hij een tijd t – t / γ te vroeg schieten.

Deze gedachtegang is echter onjuist! Want cowboy A zit op dezelfde balk. Ook de klok van cowboy A loopt ten opzichte van het stelsel-in-rust met t – t / γ achter. Beide klokken lopen in dezelfde mate trager en vertonen onderling geen tijdsverschil. Klokken die langzamer lopen, kunnen heel goed gelijklopen.

Het tijdsverschil wordt niet veroorzaakt door het langzamer lopen van de klokken van de cowboys, maar door het afstandsverschil in de bewegingsrichting van cowboy B en cowboy A op het begin en het eind van de balk. Daar moeten we onze aandacht op richten.

In het begin van §2plus hadden we de formule gevonden "te vlug geschoten" :

Wat was ook al weer de betekenis hiervan? De voorste cowboy had net iets te vlug geschoten. We hebben dat de cowboys zelf laten opmeten. Met onze klokken nog wel, zodat de tijden die zij op hun klokken aflazen, de tijden van het stelsel-in-rust waren.
 We zullen nu deze uitdrukking met behulp van de transformatieformule voor de tijd afleiden.

Dit is de transformatieformule:

We gaan uit van gelijklopende klokken in het stelsel-in-rust: t_A = t_B . We nemen de oorsprong van het stelsel-in-beweging bij cowboy A. Op het moment dat A de oorsprong van het stelsel-in-rust passeert, bekijken we de situatie. Er geldt x_A = 0 .

Cowboy B bevindt zich dan in een punt x dat gelijk is aan de lengte (gezien vanuit het stelsel-in-rust) van de balk r_AB , dus x_B = r_AB .

Dit vullen we in voor de punten A en B in de transformatieformule:

Voor punt A:   

Je krijgt, als je t_A naar voren haalt en bedenkt dat x_A = 0 :   

Op dezelfde manier, maar nu met x_B = r_AB , krijg je:

Met t_A = t_B , omdat we uitgaan van gelijklopende klokken in het stelsel-in-rust, volgt hieruit :

Dit is het tijdverschil tussen twee op een afstand r_AB van elkaar staande klokken in het stelsel-in-beweging volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust. Het is het tijdverschil volgens de bewegende, dus trage klokken. We werken het verder uit.

We hebben het tijdsverschil Δt  "te vlug geschoten " nog niet gevonden, we beschikken pas over het tijdverschil Δτ volgens hun klokken. Om het tijdverschil Δt met de snelle klokken van het stelsel-in-rust te vinden moeten we Δτ vermenigvuldigen met γ , dus:

Als we dit resultaat in een iets andere volgorde schrijven krijgen we precies de formule "te vlug geschoten" terug.

     "te vlug geschoten"

Dit stemt ons zeer gelukkig!

Kan je alleen metingen van een bewegend voorwerp verrichten in het stelsel-in-rust, met andere woorden: is het alleen mogelijk de coördinaten  x, y, z en t te bepalen, of kan je ook direct metingen verrichten in het stelsel-in-beweging en daarmee de coördinaten ξ, η, ζ en τ op directe wijze bepalen?

We bekijken dit alleen voor de x en ξ  en de t en τ - coördinaat.

Voor het meten van de coördinaten geldt het volgende:

De x–coördinaat: 
De plaats van een gebeurtenis of de lengte van een voorwerp (bijvoorbeeld een balk) in het stelsel-in-beweging kunnen we in het stelsel-in-rust meten door op een bepaald tijdstip de plaats van de gebeurtenis of van de voor– en achterkant van het voorwerp te bepalen. Dat levert de x–waarden op. De lengte (x_B – x_A) = r_AB die we meten is de lengte van het bewegende voorwerp. De snelheid vinden we met (x_B' – x_A') = v.   Met de transformatieformules kunnen we de x–waarden omrekenen naar het bewegende stelsel. Voor de lengte moet je dan ξ_B - ξ_A  = ℓ  krijgen, waarbij  ℓ =  γ . r_AB^, de lengte die het voorwerp heeft als het in rust wordt gemeten.

De t –coördinaat:
 Als we de snelheid van een voorwerp  kennen, kunnen we de lengte van dit voorwerp meten door het tijdstip t te bepalen waarop de voorkant en later de achterkant een merkstreep passeren. De tijdstippen kunnen met onze klokken worden bepaald, dan verkrijgen we eveneens de lengte van het bewegende voorwerp: r_AB = (t_A – t_B) . v . De lengte van het voorwerp als het in rust wordt opgemeten, kan opnieuw via de transformatieformules worden berekend en is weer:  ℓ = γ . r_AB

De ξ–coördinaten: 
De plaats van een gebeurtenis of de lengte van het bewegende voorwerp kunnen we ook verkrijgen als we de cowboys vragen de plaats of de lengte op te meten. De lengte van de balk die zij meten is (ξ_B – ξ_A ) = ℓ . Je kan de lengte ℓ in het stelsel-in-beweging ook opmeten als de cowboys een meetlat met mm–verdeling langs de balk leggen. Daarvoor heb je hun medewerking nodig. Met een verrekijker of een TV–camera zou je dan gewoon de lengte van de balk kunnen aflezen. De afmeting die je dan vindt, is de lengte ℓ. Op deze wijze meet je direct de coördinaat ξ in het stelsel-in-beweging. Maar, we kunnen niet zonder hulp van de cowboys een lengte nauwkeurig opmeten. Dus eigenlijk kunnen we nooit op directe wijze de lengte van een voorwerp nauwkeurig meten in het bewegende stelsel omdat je er zelden een cowboy treft. Onnauwkeurige metingen zijn wel mogelijk. Als op de balk in de lengterichting tien cowboys liggen, achter elkaar, die volgens ons een gezamenlijke lengte overbruggen van 9 meter dan kunnen we snel concluderen dat ze tot ongeveer de helft zijn gekrompen en dat de balk dus 18 meter lang zal zijn. De cowboy wordt dan, met al zijn beperkingen, als meetlat gebruikt. Het is opmerkelijk dat de stoffelijke natuur ons geen voorwerpen te bieden heeft die een scherp bepaalde afmeting bezitten en als standaardlengte gebruikt kunnen worden. Dit in tegenstelling tot de tijd, waarvan je kan zeggen dat ieder atoom als klok kan worden gebruikt.

De τ–coördinaat: 
We kunnen de cowboys ook vragen het tijdstip  τ van een gebeurtenis vast te stellen of de tijdstippen τ_A en τ_B te bepalen, waarop de beide balkenenden een merkstreep in het stelsel-in-rust passeren. De lengte ℓ van de balk is dan ℓ =  (τ_A – τ_B) . v . Je kan de cowboys ook vragen hun klokken zodanig te plaatsen dat wij ze af kunnen lezen met een verrekijker of een Tv-camera. Dit zijn alle indirecte metingen van de tijd in het bewegende stelsel, zonder cowboys lukt het niet. Maar er is een verschil met de lengtemetingen. Ieder atoom dat ongestoord licht kan uitstralen, doet dat bij een aantal zeer precies bepaalde frequenties (=aantal trillingen per seconde). De straling die wij van een bewegend voorwerp ontvangen zal minder trillingen per seconde vertonen wegens het trager verlopen van de tijd aldaar. Door het aantal trillingen te "tellen" kan je meten hoeveel tijd er in het bewegende stelsel is verlopen. In principe heb je daarmee een klok die de tijd τ in het bewegende stelsel aangeeft en waarmee de tijd op directe wijze kan worden bepaald. 

De lengte (x₁ – x₂ ) is γ keer kleiner dan (ξ₁ – ξ₂ ).

De tijdhoeveelheid (t₁ – t₂ ) is γ keer groter dan (τ₁ – τ₂ ).

Dat is allemaal mooi en aardig, maar waar vinden we in de natuur verschijnselen die de theorie zoals we die tot nu toe hebben gezien, bevestigen?

Helaas, niet veel. We moeten vooral denken aan snelle deeltjes die in het laboratorium kunnen worden opgewekt.  Wat er aan materiaal is, zullen we tentoonstellen.

Het meest aansprekende voorbeeld is dat van deeltjes die langer leven dan verwacht: deeltjes die ontstaan door kosmische straling op een hoogte van 20 tot 30 km in de atmosfeer. De "straling", die voornamelijk uit zeer energierijke ( = zeer snelle) protonen bestaat, kan slechts tot de bovenlagen van de atmosfeer doordringen. Daar worden de deeltjes tot staan gebracht door botsingen met atoomkernen van de atomen en moleculen van de atmosfeer. Bij de botsingen komen elementaire deeltjes vrij die nog steeds zeer energierijk ( = zeer snel) zijn en in dezelfde richting bewegen. Onder de deeltjes die op de genoemde hoogte worden gevormd, zijn zogenaamde μ–mesonen, deeltjes die maar heel kort blijven bestaan. Ze zijn instabiel en hun levensduur is gemiddeld slechts 2,2 x 10^-6 seconde. Daarna gaan ze spontaan over in andere, meer stabiele deeltjes.

Met een snelheid van bijna 300 000 km/s , bijna de lichtsnelheid, kunnen de μ–mesonen in die korte tijd gemiddeld hooguit 660 meter afleggen. Toch worden ze op zeeniveau gedetecteerd. Ra, ra. hoe kan dat.

Dit is nou een gevolg van de tijdvertraging in het stelsel-in-beweging. Je kan het op twee manieren onder woorden brengen:

De kracht van dit voorbeeld is dat de begrippen "een tragere tijd" of "een kortere lengte" werkelijkheid zijn. Het is niet een door de snelheid vervormde waarneming, het moet echt zijn, want de deeltjes worden waargenomen.  Tijdvertraging (–dilatatie) en de lengteverkorting (–contractie) zijn geen optisch bedrog, ze zijn realiteit.

Met vergelijkbare deeltjes (bijvoorbeeld π–mesonen) kunnen in het laboratorium deze effecten worden herhaald.

2^de voorbeeld.

In het laboratorium kan men deeltjes versnellen tot snelheden die dicht in de buurt van de lichtsnelheid komen. Reeds in 1936 heeft H.E.Ives van Bell Telephone Laboratories protonen versneld en vervolgens elektronen toegevoegd om op die manier snelle waterstofatomen te verkrijgen. Het licht dat hierbij werd uitgezonden bestond uit de bekende waterstoflijnen.
De lichtfrequenties van de snel bewegende atomen waren lager dan van waterstofatomen onder gewone omstandigheden. De verschuiving van de frequenties was in overeenstemming met de vertraagde tijd in het stelsel-in-beweging.

Terug naar begin