Naar Centrale Hal
Naar Inhoud van de Uitleg
Naar Vertaling §7 Doppler en aberratie
Terug naar  Uitleg §6 Maxwell  of  Uitleg §6plus Wervelwinden en draaikolken   
Naar   Uitleg §8 Lichtenergie en -druk
Naar Begrijpelijke afleidingen bij §7   

Aan het eind van de negentiende eeuw lag men niet wakker over het Dopplereffect voor licht. De verklaring zoals deze gold voor geluid zou ook wel kloppen voor licht. Wie daar echter geen genoegen mee nam was Hendrik Antoon Lorentz die in zijn "Versuch einer Theorie"  (een "bijna–relativiteitstheorie") naar de stand van de wetenschap van dat moment (1895) de ultieme theorie over elektromagnetische verschijnselen en dus ook over licht publiceerde.  Ook het Dopplereffect kreeg daarin een plaats. Er was geen speld tussen te krijgen ondanks de bescheiden titel van de publicatie.
Iedereen tevreden: weer een stukje natuurkunde af!

Maar als Einstein hetzelfde verschijnsel onder het mes van de relativiteittheorie legt, ontstaan er andere formules en wordt de fysische interpretatie beslist anders dan die voor geluid.

Het Dopplereffect

Christian Johann Doppler (1803–1853) Oostenrijks wiskundige uit Saltzburg. Ontdekte in 1842 voor geluiden dat de toon de hoogte in ging bij nadering en omlaag ging bij verwijdering van de bron. Armand Fizeau suggereerde in 1848 dat het Dopplereffect bij licht tot een blauwverschuiving of een roodverschuiving leidt. Goed gezien!  Einstein heeft het in de hier besproken publicatie consequent over het "Doppeler" effect, hij mocht de man misschien niet!

Het Dopplereffect kennen we allemaal voor het geluid van een snel passerend voertuig of overvliegend vliegtuig. Bij nadering is het geluid hoger dan wanneer het vervoermiddel zich weer verwijdert. Het meest opvallende voorbeeld is misschien wel de alarmbel die we kunnen horen bij een onbewaakte overweg (zolang deze nog bestaan) wanneer we in een trein zitten. Dan zijn we zelf in beweging ten opzichte van de bel, maar het verschijnsel doet zich dan evengoed voor. Ook dit geluid verloopt van hoog naar laag.

De verklaring is niet moeilijk. Het geluid heeft een constante snelheid ten opzichte van de lucht. We geven de geluidsnelheid, net als de lichtsnelheid, ook met het symbool c aan. Dit kunnen we wel even uit elkaar houden, denk ik. Dus c meter per seconde. We gaan uit van stilstaande lucht. De geluidbron heeft een frequentie van f hertz(Hz). Dus f trillingen per seconde. Als de geluidbron en de waarnemer stilstaan ten opzichte van elkaar bevinden zich in een afstand van c meter dus f trillingen.
Wanneer de bron zich met een snelheid + v m/s van de waarnemer verwijdert, moeten diezelfde f trillingen per seconde zich in een gebied met een lengte van (c + v) meter bevinden, immers de eerste, uitgezonden trilling die we in ogenschouw nemen heeft zich na één seconde c meter verwijderd van het punt waar hij werd uitgezonden (en bereikt de waarnemer) en de laatste trilling, die in de betreffende  tijdsduur van één seconde wordt uitgezonden, ontsnapt aan de bron op een plaats die v meter verder weg ligt van de waarnemer. De f trillingen die de waarnemer in de betreffende seconde passeren, liggen dus verder uiteen. Ze nemen een afstand van (c + v) meter in. De golflengte is langer geworden.
De frequentie die de waarnemer hoort is:             
Wanneer de bron de waarnemer nadert, verandert het teken van de snelheid. In de noemer komt dan een minteken te staan in de plaats van het plusteken. De formule blijft hetzelfde.

Maar als de waarnemer zich verplaatst terwijl de bron stil blijft staan, krijg je een andere situatie. Als de waarnemer zich met een snelheid van + v m/s van de bron verwijdert,  terwijl de bron stilstaat, wordt de waarnemer in één seconde door minder dan f trillingen ingehaald. Het gaat nu om de geluidtrillingen die zich in een gebied van (c  –  v) meter bevinden. Dat zijn er (c  –  v)/c   keer zo weinig als bij stilstand.
De frequentie die de waarnemer nu hoort, is:            
Er zijn dus twee formules, één voor de bewegende bron en één voor de bewegende waarnemer. Dat er twee formules moeten zijn, wordt duidelijk als je je voorstelt dat de bron zich met de geluidsnelheid verwijdert: dan wordt hetzelfde aantal trillingen per seconde over een tweemaal zo grote afstand uitgesmeerd, dus de frequentie wordt de helft. Als daarentegen de waarnemer zich met de geluidsnelheid van de bron verwijdert, kunnen de geluidgolven de waarnemer niet meer inhalen: de frequentie wordt nul! Als v veel kleiner is dan c leiden beide formules tot praktisch dezelfde uitkomst.

Als laatste toevoeging kunnen we ons nog afvragen hoe de formules er uit gaan zien als de richting van v een hoek φ maakt met de voortplantingsrichting van het geluid. Dan moeten we de component van v nemen in de bewegingsrichting van het geluid: v . cos φ en daarmee krijgen we de volgende formules:

Bewegende geluidbron:                                

Bewegende waarnemer:                    

Iedereen, ook Lorentz, ging er van uit dat het Dopplereffect voor licht, dat zich volgens de opvattingen in die tijd door de stilstaande "lichtether" voortbewoog met een constante snelheid c ten opzichte van de "lichtether", op dezelfde wijze als door de twee formules voor geluid in stilstaande lucht diende te worden beschreven.

Einstein schudde hen wakker en kwam voor het Dopplereffect voor licht tot één formule, waarbij het niet uitmaakt of de bron of de waarnemer beweegt! Echt een stukje relativiteit!

We zullen zijn redenatie volgen. Ga er maar even rustig voor zitten, maar houd je goed vast. Gewoon door de transformatieformules toe te passen, wist Einstein tot dan toe onverklaarde effecten op te helderen. Niet alleen het Dopplereffect, maar ook de aberratie, de rood- en blauw verschuiving en de intensiteitsverandering.  Let maar op.

In het stelsel-in-rust K bevindt zich ver van de oorsprong in het punt (x, y, z ) een bron die elektromagnetische golven uitzendt. We zullen de elektromagnetische golven met regelmaat ook gewoon "licht" noemen. Het punt wordt voor het gemak zeer ver van de oorsprong genomen zodat de waargenomen golven constant in grootte en richting zijn, zowel voor een waarnemer in het stelsel–in–rust als voor een bewegende waarnemer die een beetje in de buurt blijft. 
De lichtgolven bereiken de waarnemer. Als deze zich in de oorsprong van het stelsel–in–rust K bevindt, kunnen we de componenten voor het elektrisch veld en voor het magnetisch veld van het licht opschrijven:

X = X₀ . sin Φ,         L = L₀ . sin Φ,

Y = Y₀ . sin Φ,         M = M₀ . sin Φ,

Z = Z₀ . sin Φ,         N = N₀ . sin Φ,

Dit is een algemene manier van beschrijven van de sterkte van de golf op een bepaalde plaats. De sterkte van de componenten X, Y en Z van elektrische vector tonen een sinus-vormig verloop, evenals de componenten L, M en N van de magnetische vector. Je zal hierin, als je het onderwerp trillingen wel eens hebt gehad,  de formule A.sin2πft   herkennen, waarbij A de amplitudo is, f de frequentie en t de tijd vanaf het moment dat de golf  begon. De hoek Φ = 2πft wordt in radialen uitgedrukt. De formule kan ook worden geschreven als A . sin  ω t , waarbij ω de hoekfrequentie of hoeksnelheid in radialen/s wordt genoemd. Vanzelfsprekend geldt dan de vergelijking ω = 2πf of (omdat f = 1/ T ) geldt ook ω = 2π/T, waarbij T de trillingstijd is. Het omrekenen van een hoek in graden of in radialen is altijd gemakkelijk te doen als je bedenkt dat het doorlopen van een hele cirkel neerkomt op 360 ° of 2π radialen.

Alle componenten van het elektrische en het magnetische veld variëren, zoals gezegd,  met de tijd sinusvormig in sterkte. De variatie gaat in dit geval synchroon. Alle componenten bereiken tegelijkertijd de maximale waarde (de amplitudo), gaan tegelijkertijd door nul en bereiken vervolgens de uiterste waarde in negatieve zin. Je hebt hier te maken met lineair gepolariseerd licht, dat het eenvoudigst te beschrijven is. We maken het niet moeilijker dan het al is.

Figuur 7. 01 Iedere component van het elektrisch veld en ook van het magnetisch veld varieert op de wijze zoals in de figuur is aangegeven

Wanneer we de eerste vergelijking onder de loep nemen, X = X₀ . sin Φ, dan is X₀ daarin de amplitudo van de x–component van het elektrische veld en Φ is een hoek in radialen, die evenredig met de tijd toeneemt. De hoek Φ wordt de fasehoek genoemd. Als Φ de waarde π/2 heeft, is sin Φ = 1 en bereikt de component zijn maximale waarde, de amplitudo.De hoek π/2 komt overeen met 90 º. Voor Φ = 0, π of 2π heeft sin Φ de waarde 0 en voor Φ = 3π/2 wordt sin Φ = – 1. Dit herhaalt zich elke trilling. De hoek Φ wordt ook wel de fasehoek genoemd. De hoek loopt na 2π gewoon door. Bij Φ = 4π zijn er twee trillingen doorlopen, enzovoort (zie figuur 701).

Wanneer de bron t seconde bezig is met golven uitzenden, dan is de doorlopen fasehoek van de trilling bij de bron zelf: Φ = ω . t radialen. Op een afstand s van de bron is de fasehoek van de golf die daar op dat tijdstip t passeert: Φ = ω . (t  – s / c), want de golven komen daar pas s/c seconde, nadat ze de bron verlaten hebben, aan.

De afstand s tussen de bron en de oorsprong van het stelsel-in-rust geeft Einstein aan met

s = a.x + b.y + d.z

waarbij x,  y en z de componenten van s langs de drie assen zijn en waarbij a, b en d de richtingscosinussen van de afstand worden genoemd. In figuur 702 is de afstand s aangegeven. De componenten van s worden verkregen door s op elk van de drie assen te projecteren. Een handige, maar in onbruik geraakte methode.
Voor x geldt x = s . cos α. De richtingscosinus a is gelijk aan cos α , die weer eenvoudigweg gelijk is aan x / s.
Voor y geldt y = s . cos β met de richtingscosinus b =  cos β = y / s en voor z geldt z = s . cos γ met de richtingscosinus d = cos γ = z / s.

Hiermee wordt a.x + b.y + d.z = x² / s + y² / s + z² / s = (x² + y² + z²) / s = s² / s =   s.

Bedenk dat de stelling van Pythagoras in de ruimte luidt: x² + y² + z² = s².

Figuur 702 De richtingscosinussen

Op deze manier is de afstand s direct in zijn componenten a.x, b.y en d.z weergegeven. 
De fasehoek Φ wordt hiermee:     

Φ = ω . .  

De tijd t hoort bij het punt (x,  y,  z) waar de bron zich bevindt.  
De tijdsduur   t* = (ax+by+dz)/c  is de tijd die de golf er over heeft gedaan om vanaf de bron de stilstaande waarnemer in de oorsprong te bereiken . 
De uitdrukking tussen haken: is gelijk aan (t – t*) , dat is de tijdsduur dat de waarnemer in de oorsprong de golven reeds waarneemt.

Einstein schrijft de fasehoek op bovenstaande wijze op omdat je er dan vat op hebt, je kunt hem transformeren. De variabelen die er in voorkomen t, x, y en z kunnen namelijk worden getransformeerd met de transformatieformules. Voor de veldcomponenten  X, Y, Z en L, M en N zijn de getransformeerde formules ook bekend. Het is nu de bedoeling uit te zoeken welke grootte een waarnemer in een bewegend stelsel (ten opzichte van het stelsel-in-rust en de bron) aan de zes componenten van het elektromagnetische veld zal toekennen (zie figuur 703).

Als Φ' de fasehoek is die de bewegende waarnemer constateert, kan hij daarvoor opschrijven:

Φ ' = ω ' . , 

waarbij op het tijdstip τ* = (a' . ξ + b' . η + d' . ζ) / c de golf de waarnemer in het stelsel-in-beweging bereikt.

De waarnemer in het stelsel-in-beweging zal volgens de getransformeerde formules van de vorige paragraaf de zes componenten zien als:

X ' = X = X₀ . sin Φ ',                           L ' = L =  L₀ . sin Φ ',

Y ' = γ . (Y₀ – .N₀) . sin Φ ',             M ' = γ . (M₀ + .Z₀ ). sin Φ ',

Z ' = γ . (Z₀ + . M₀) . sin Φ ',             N ' = γ . (N₀ – .Y₀) . sin Φ ',

Figuur 703 De waarnemers in het stelsel–in–beweging komen dichter bij de bron

Nu is het aardige dat de fasehoek Φ ' = ω ' . de getransformeerde functie moet zijn van Φ en beide functies moeten dezelfde vorm hebben , immers volgens het relativiteitsprincipe geldt: "De natuurkundige wetten zijn onafhankelijk van het stelsel". Bovendien moeten  Φ en  Φ' ook nog dezelfde waarde hebben
Om daar meer over te weten te komen, transformeren we het ding gewoon terug met:

Dan krijgen we:

Om te zien of dit van dezelfde vorm is, moet je hem zo herschrijven dat hij zoveel mogelijk lijkt op

Φ = ω . .

Dat valt niet mee, maar na wat gepriegel en gehannes, krijg je:

Als je de uitdrukkingen voor Φ en voor Φ' vergelijkt, kom je tot de conclusie dat de vorm dezelfde is als de volgende gelijkheden gelden:

ω = γ .ω' ;
a = ;
b = ;
d =

Deze gelijkheden moeten dus gelden omdat volgens het relativiteitsprincipe de vorm dezelfde moet zijn!! Dit is de hogere filosofie achter de theorie. Als die aanname niet klopt, valt alles in duigen, maar tot op heden is de aanname rechtovereind gebleven.

In één moeite door zal nu ook Φ gelijk zijn aan Φ'.
Met behulp van de gelijkheden kan je a', b', d' en ω' in a, b, d en ω uitdrukken. Dat gaan we doen, om te beginnen met a', want a' heb je in de drie ander formules ook nodig. In één van de bovenstaande formules staat a uitgedrukt in a'.  Je kan a en a' met elkaar verwisselen en v verwisselen met  - v. Dan krijg je het volgende resultaat, maar je kan a' ook uit de vergelijking oplossen. Dat kost wat meer tijd en je maakt makkelijk vergissingen, maar je krijgt ook:

In de drie andere formules komt de uitdrukking γ . voor.
Als we hierin a ' invullen en ons herinneren dat voor γ geldt: γ = , dan blijkt:

γ .= .

Hiermee kom je eenvoudig op:

b ' =   ;     d ' = ;     ω' = . ω

Deze uitdrukkingen staan in het artikel van Einstein halverwege blz. 911. De uitdrukking voor ω' leidt ons nu direct naar het Dopplereffect voor elektromagnetische straling in het algemeen en licht in het bijzonder. Let maar op:

Wegens de relatie ω = 2π . f tussen de hoekfrequentie ω en de gewone frequentie f en 
ω' = 2π . f ' geldt dus dat de waarnemer in het stelsel-in-beweging een frequentie f ' constateert die gelijk is aan:

f ' = . f,

waarbij f de frequentie is die een waarnemer in het stelsel-in-rust constateert en waarbij
                     a = cos α = x / s.
Verder geldt nog altijd γ > 1.

Let op: de bewegingsrichting van het stelsel-in-beweging en van het licht dat de waarnemers tegemoetkomt is in figuur 703 tegengesteld, zodat v/c in die situatie negatief is! Dan is f ' groter dan f .

We gaan het probleem vereenvoudigen. Als we de bron in het xy–vlak kiezen,  zijn er van de drie mogelijke hoeken α, β en γ nog maar twee over, α en β , waarbij geldt  β =  90^o - α. Eigenlijk is er nu nog maar één onafhankelijke hoek over. We kiezen de hoek met de x-as en noemen die hoek φ.
De richtingscosinus a is dan de cosinus van de hoek φ tussen de lichtstralen van de bron en de x–as van het stilstaande stelsel: a = cos φ .

Bedenk dat de x–as samenvalt met de ξ–as van het bewegende stelsel dat zich in de richting van de positieve x–as beweegt.

Dopplereffect en rood- en blauwverkleuring

Als we nu a en γ uitschrijven, krijgen we het "relativistische" Dopplereffect:

Bekijk ook eens de alternatieve afleiding van deze formule zonder gebruik van de Maxwellvergelijkingen: Begrijpelijke afleidingen

Vergelijk dit resultaat met de klassieke formules in het begin en je ziet dat waar er voor geluid een onderscheid wordt gemaakt tussen de bewegende bron en de bewegende waarnemer, voor elektromagnetische golven (licht) slechts één formule nodig is waarbij alleen de relatieve beweging tussen waarnemer en bron van belang is.
Hier keken Einsteins tijdgenoten behoorlijk van op!

Vervolgens laat Einstein zien wat er gebeurt als de waarnemer zich beweegt langs de lijn waarnemer –––– bron. De hoek φ is dan nul. Je krijgt:

De factor is precies de middelevenredige tussen de klassieke factoren voor geluidgolven in stilstaande lucht: 

(als de bron zich verwijdert) en 
(1 – ) (als de waarnemer zich verwijdert).

Dus f ' = f .. Dit kan ook worden geschreven als f '. = f . , waarmee de symmetrie tussen het stelsel–in–beweging en het stelsel–in–rust mooi tot uitdrukking komt.

Als v/c positief wordt genomen verwijderen de bron en de waarnemer in het stelsel-in-beweging zich van elkaar. Dan is f ' < f, de situatie van roodverschuiving. Als   v/c negatief is, naderen de bron en de waarnemer elkaar. Dan wordt het blauwverschuiving. Als de snelheid v is, dan is de verschuiving voor alle frequenties eenzelfde factor. Daarom hoeft een sterrenkundige maar van één spectraallijn te weten hoeveel deze in frequentie is verschoven om de snelheid van de bron te kennen.

Vraag:
  Een emissielijn van het element zuurstof heeft een golflengte van 0,3727 µm als je de golflengte in het laboratorium meet. In een ver verwijderd sterrenstelsel wordt deze lijn ook aangetroffen maar de hier gemeten  golflengte is als gevolg van de roodverschuiving  0,415 µm. Bereken met welke snelheid het sterrenstelsel zich van ons verwijderd. Gebruik voor de lichtsnelheid c = 2,998 x 10⁸ m/s. 
(Antw. 32,1 x 10⁶ m/s)

Hier wijst Einstein er in de originele tekst p.912 op dat als v = – ∞ dat dan f = ∞. Dat moet een typefout zijn want oneindige snelheden zijn onbestaanbaar volgens Einstein zelf. We nemen de vrijheid te veronderstellen dat bedoeld is: v = + c, zodat v/c = –1.
Dan wordt de noemer 0 en de frequentie f ' wordt oneindig. "In tegenstelling tot de gebruikelijke opvatting", zegt Einstein. Volgens de gebruikelijke opvatting werd een dubbele frequentie f ' = 2.f verwacht.

We kunnen er aan toevoegen dat als de waarnemer zich met de lichtsnelheid verwijdert van de bron de "waargenomen" frequentie nul wordt, net als wanneer een waarnemer zich met de geluidsnelheid van een geluidbron zou verwijderen. Daarin zit geen onverwachte uitkomst.

Aberratie

Uit de afgeleide formules geeft Einstein vervolgens een nieuwe verklaring voor een al lang bekend verschijnsel dat het gevolg is van de snelheid van de aarde in zijn baan rond de zon. De snelheid van de aarde ten opzichte van de sterren vertoont een jaarlijkse variatie. Als gevolg hiervan vertonen de posities van de sterren op de hemelbol ook een jaarlijkse variatie. Het verschijnsel wordt aberratie genoemd of met een oude term: "afdwaling van het licht".

Alle sterren doen er in dezelfde mate aan mee.

Het moet wel worden onderscheiden van de verschuiving van plaats voor dichtbij staande sterren ten opzichte van ver weg gelegen sterren als gevolg van onze jaarlijkse beweging, de jaarlijkse parallax. Met een oude term: "Jaarlijksch verschilzicht der vaste sterren". De aberratie komt door de snelheid van de aarde, de parallax komt door de verplaatsing van de aarde. De parallax is alleen waarneembaar voor nabije sterren.

De klassieke verklaring voor de aberratie is door de ontdekker van het verschijnsel, Bradley , al in 1729 gegeven (zie figuur 704).

Het is dezelfde verklaring die ook wordt gegeven voor de richting waarmee de regen tegen een fietsende fietser aanklettert als de regen loodrecht naar beneden valt (voor een stilstaande waarnemer). Voor de fietser valt de regen niet loodrecht naar beneden, als hij hard genoeg fietst krijgt hij de regen in zijn gezicht. Hij zal iets naar voren buigen zodat de regen alleen op zijn kop terecht komt.

Bradley constateerde dat een bepaalde vaste ster (de twee na helderste uit het sterrenbeeld de Draak), die hij een groot deel van het jaar iedere nacht in zijn loodrecht opgestelde sterrenkijker in het vizier kreeg in de loop der tijd van positie veranderde. Het was een goed meetbaar effect, waarvan hij ontdekte dat het niet de jaarlijkse parallax kon zijn. Hij bracht het effect in verband met de eindige lichtsnelheid en de snelheid van de aarde in zijn baan om de zon.

Figuur 704 Door de aardbeweging moet een kijker iets worden gekanteld

De redenatie is de volgende: de tijd t die het licht van de ster er over doet om van de objectieflens (vooraan) van een sterrenkijker tot aan het oculair (ooglens) te komen, is t = ℓ/c.

Hierin is ℓ de lengte van de kijker. In die tijd heeft de sterrenkijker zich over een afstand v.t = v.ℓ/c verplaatst omdat hij meebeweegt met de aarde. Om het beeld van de ster toch in het midden van het oculair te krijgen moet de kijker enigszins worden gekanteld. Die kantelhoek wordt gevonden met

sinus θ =

Het quotiënt v/c wordt de aberratieconstante genoemd. Dit is de maximale afwijking, want naarmate het sterlicht minder loodrecht invalt, wordt de afwijking kleiner. Jaarlijks wordt door iedere vaste ster op die manier een ellips beschreven tegen de hemelbol met een lange as van 41 boogseconden. Daarbij geldt: als we een ster tegemoet snellen, staat hij schijnbaar lager en als we ons van de ster verwijderen staat hij schijnbaar hoger. Tweemaal per jaar heeft een ster zijn grootste hoekafwijking ten opzichte van zijn gemiddelde plek, namelijk als het aankomende sterlicht en de snelheid van de aarde loodrecht op elkaar staan. In figuur 705 zijn dat de plaatsen 1 en 2.

In de tweede helft van de negentiende eeuw, dus na 1850, kwam deze verklaring steeds meer onder vuur te liggen. Als de kantelhoek namelijk afhing van de tijd die het licht er over deed om van de objectieflens tot het oculair te komen, dan zou de kantelhoek moeten veranderen als je de kijker zou vullen met een materiaal waarin het licht een lagere snelheid had. Zo'n materiaal is water. Daarin is de lichtsnelheid ongeveer 75 % van die in lucht. De kantelhoek zou 1,33 maal zo groot moeten zijn. De Engelsman Airy waagde er in 1871 zijn telescoop aan en vulde hem spontaan met water. Na een grondig onderzoek kwam hij met een verrassend resultaat: de kantelhoek was niet veranderd!! Dus de verklaring van Bradley klopte niet.

In zijn "Versuch einer Theorie" blz. 88 weet onze wegbereider van de Relativiteitstheorie, H.A.Lorentz, het negatieve resultaat van Airy op een moeizame wijze te verklaren.

Einstein echter scherpt op heldere wijze in enkele bladzijden de formule nog wat aan en bevestigt dat het medium er niet toe doet. Hij laat zien dat de aberratie eenvoudig te vinden is uit het verschil van de richtingscosinus van de bron in het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging.

Neem de formule a ' = , van ongeveer 5 bladzijden terug.
Als je de betekenis van a en a' invult staat er:    cos φ' =     
Deze uitdrukking bevat beide richtingscosinussen van het sterlicht ten opzichte van de sterrenkijker op aarde. Voor een stilstaande aarde zou gelden cos φ en voor de bewegende aarde geldt: cos φ'.

Deze formule geeft het verschijnsel aberratie in de meest algemene vorm weer, zo stelt hij. Als φ = π / 2, dus cos φ = 0, als de aardbeweging  en de invallende straling loodrecht op elkaar staan, houden we de uitdrukking cos φ' = – v/c over, wat overeenkomt met de klassieke formule sinus θ = v/c . Zie figuur 704 en bedenk dat voor de hoeken geldt: sin θ = cos φ'. 

De klassieke formule ging er van uit dat het licht van de ster loodrecht op de beweging van de aarde stond, terwijl Einstein en Lorentz laten zien dat de positie van de ster, vanaf de aarde gezien, daadwerkelijk is veranderd waardoor het licht enigszins scheef invalt. Dan maakt het  niet meer uit welke snelheid het licht in de sterrenkijker heeft.

Intensiteit

Tenslotte vraagt Einstein zich af (blz. 912) of de amplitudo (= de grootste waarde) van de golven verandert wanneer de golven worden waargenomen in het stelsel-in-beweging. Dat is een "nieuwe" vraag, waar zijn tijdgenoten niet mee zaten, behalve natuurlijk Lorentz (Versuch einer Theorie blz. 108).

De oplossing wordt door Einstein in een paar regels gegeven: wanneer de amplitudo van de elektromagnetische golven in het stelsel-in-rust wordt aangegeven met A en de amplitudo in het stelsel-in-beweging met A' , dan geldt de volgende betrekking

A' ² = A² . .

Dat valt echt uit de lucht! Hoe komt hij er bij?
Wanneer je denkt dit even af te leiden uit de getransformeerde formules X’, Y’ en Z’, dan kan dat lelijk tegenvallen als je de neiging hebt af te dwalen langs aantrekkelijke gedachte–paadjes. Wekenlang heeft uw gids ieder moment van zijn vrije tijd gebruikt om te achterhalen hoe Einstein tot deze formule is gekomen. Hij lijkt natuurlijk verschrikkelijk veel op de formule die de relatie tussen de hoekfrequenties weergeeft maar hoe komen we er aan. Welke gedachtegang zit er achter. Het moet iets vanzelfsprekends zijn, maar je moet het wel eerst even zien. Als je het zelf wil uitzoeken, klap dan snel dit manuscript dicht en huur bijvoorbeeld een huisje in Drente (om meerdere redenen aanbevolen) om er ongestoord enkele weken door te brengen.

Zo niet, dan volgt hier een uitweg uit het probleem.

De elektromagnetische golf is een transversale golf. De amplitudo staat dus loodrecht op de richting waarin de golf zich voortbeweegt. We kijken uitsluitend naar de elektrische vector (voor de magnetische vector geldt een gelijksoortig verhaal). Wanneer de golf zich langs de x–as zou bewegen, zou de elektrische vector alleen uit de y–component Y = Y₀. sin Φ en de z–component Z = Z₀. sin Φ bestaan. De grootste waarde van de y–component is Y₀ en van de z–component Z₀ (zie figuur 706). Voor de amplitudo A geldt dan: A² = Y₀² + Z₀².

Figuur 706 Elektromagnetische golf langs de x–as

Wanneer de golf een hoek maakt met de x–as krijgt de elektrische vector ook een x–component (zie figuur 707). De vectoren A, Z₀ en A_{x y} liggen in het vlak loodrecht op de bewegingsrichting van de golf. In de tekening is een hulp–assenstelsel getekend. De componenten van A in dit hulp–assenstelsel zijn X₀, Y₀ en Z_0. De vector A_yz is de vectorsom van Y₀ en Z₀.

Figuur 707 Elektromagnetische golf die onder een hoek φ t.o.v. de x–as voortbeweegt.

We moeten eerst het vlak in ogenschouw nemen dat gevormd wordt door de x–as (tevens de bewegingsrichting van het stelsel–in–beweging) en de richting van waaruit de straling tot ons komt. In het stelsel-in-beweging hebben we met precies hetzelfde vlak te maken. We kunnen dus de richting van het licht in het stelsel-in-rust en de richting van het licht in het stelsel-in-beweging in één vlak tekenen (fig. 708). Dit vlak is het xy–vlak.

Wanneer dezelfde lichtgolf bekeken wordt vanuit een stelsel–in–beweging dat langs de x-as beweegt, zal vanwege de aberratie de voortplantingsrichting van de golf en dus ook de richting van de bron een andere waarde aannemen. De hoek wordt φ' (zie figuur 708). Einstein beweert dat de amplitudo, en dat is een maat voor de intensiteit van de straling, verandert als je overstapt van een stelsel–in–rust naar een stelsel–in–beweging. Het zal zo uitpakken, dat zullen we straks laten zien, dat op gelijke afstand de intensiteit groter is voor een stelsel–in–beweging dat naar de bron toe beweegt dan voor een stelsel–in–rust (en omgekeerd).

Figuur 708 De bron A gezien vanuit het stelsel–in–rust en dezelfde bron A' gezien vanuit het stelsel–in–beweging.

We zoeken het nu uit.

Uit de transformatieformules blijkt dat de x–component X van het elektrisch veld niet verandert bij de overgang van het stelsel-in-rust naar het stelsel-in-beweging. Daarom richten we onze aandacht op X₀, de x–component van de amplitudo.

Met behulp van figuur 707 is te zien dat X₀ = A_xy . sin φ.

In het stelsel–in–beweging zal gelden X'₀ = A'_xy . sin φ'.

Omdat X₀ = X'₀ volgt hieruit dat A'_xy = A_xy.

Maar als de component A'_xy van A' met de factor groter is dan A_xy dan moet A' zelf ook met de factor groter zijn dan A en ook de component Z'₀ moet met die factor zijn toegenomen.

Terwijl bij de afmetingen van een object gold dat deze in de y– en z–richtingen onveranderd bleven en dat er in de x–richting een verkorting optrad, geldt voor de elektromagnetische golven dat de grootte in de x–richting onveranderd blijft en dat er in de y– en z–richtingen een vergroting optreedt.

We zijn er hierbij van uitgegaan dat de vector A'_yz niet van richting is veranderd t.o.v. A_yz,. 

We mogen dus schrijven: A' = A .

In het volgende maken we gebruik van sin² φ' = 1 – cos² φ' en de aberratieformule voor de verandering van de richtingscosinus      cos φ' =

De gelijkheid blijft bestaan als je beide kanten in het kwadraat neemt. Daarmee krijg je:

Teller en noemer vermenigvuldigen we met:      

= A² .

en de noemer werken we uit:

De termen in de noemer vallen tegen elkaar weg en we kunnen de noemer schrijven als: 1 – cos²φ + (v/c)². (cos²φ –1).

Dit kan worden vereenvoudigd tot      sin²φ – (v/c)². sin²φ = .

Wanneer we dit invullen voor de noemer, dan zien we dat de sin²φ in de teller en de noemer tegen elkaar kunnen worden weggestreept. We houden precies de uitdrukking over waar we naar opzoek waren:

Dat valt niet mee. Dat moet ook voor zijn tijdgenoten even puzzelen zijn geweest. Wat Einstein vervolgens hieruit concludeert, is toch heel verstrekkend. Stel dat φ gelijk is aan nul, 
dus cos φ = 1. 
Je beweegt recht op de bron af, waarbij v/c negatief is.

Bedenk dat 1 – (v/c)² = (1 – v/c) . (1 + v/c) , dan houd je over:

Als v de lichtsnelheid benadert, nadert v/c de waarde –1. De noemer gaat naar nul, waardoor de uitdrukking naar oneindig gaat. Zoals Einstein zegt: "De lichtbron wordt oneindig intensief".

Lorentz kwam niet verder dan een verdubbeling van de energie.

Dat was schrikken.

Nog even dit: we gingen er bij deze uitleg van uit dat de richting van de vector A onveranderd blijft bij de overgang van het ene stelsel naar het andere. Die hoek blijft behouden. Dat heeft de volgende natuurkundige achtergrond:

We gaan uit van gepolariseerd licht. Stel dat je een polarisatiefilter (een polaroid) verticaal in het yz-vlak hebt opgesteld . Dan kan je het licht uitdoven door het polaroid om zijn x-as te draaien tot een hoek waarbij het polaroid loodrecht op de lichtvector A staat. Omdat in het bewegende stelsel de afmetingen in de y– en z–richting niet veranderen, behoudt het polaroid in het stelsel–in–beweging deze hoek. Als de lichtvector echter zou zijn gedraaid, zou het licht in het bewegende stelsel minder worden uitgedoofd. De bewegende waarnemer constateert licht waar de stilstaande waarnemer geen licht constateert. Dat nu is zelfs voor de relativiteitstheorie te gortig: dat is fysisch onmogelijk.
Dit betekent (ziefiguur 707):     tg α = constant of Y₀/Z₀ = Y'₀/Z'₀. Dit gaan we bewijzen, maar je mag ook wel iets anders gaan doen als je dit wel gelooft.

We zullen eerst aantonen dat Y'/Z' = Y/Z. De hoek (zie figuur 709) die de elektrische vector maakt, kan je vinden uit tg α = Y₀/Z₀ en de hoek die de magnetische vector maakt, is te vinden uit tg δ = M₀/N₀ . De elektrische en de magnetische vector staan loodrecht op elkaar.

In deze figuur is  α  = 90º + δ .  Hieruit volgt tg α  = –  tg δ , dus  Y₀/Z₀ = – M₀/N₀.

Figuur 709 De elektrische en de magnetische vector staan loodrecht op elkaar

Nu tonen we aan dat de richting van de elektrische vector in het stelsel-in-beweging dezelfde is als in het stelsel-in-rust. De vraag: "Is Y'/Z' gelijk aan Y/Z". We maken gebruik van de transformatie formules en de zojuist geïntroduceerde relatie Y₀/Z₀ = – M₀/N₀ :

De richting van de amplitudo in het yz–vlak blijft dus behouden. De formule voor de amplitudo in het stelsel–in–beweging klopt.
Hoe graag we Einstein ook op een gedachtefout willen betrappen, §7 moet onze goedkeuring krijgen.

Terug naar het begin