We zullen hier de formule voor de richtingscosinus en de frequentie in het bewegende stelsel
op een aanschouwelijke en daardoor misschien begrijpelijker manier dan de methode van Einstein, nogmaals afleiden. We maken gebruik van een geometrische methode waarbij afmetingen in het stelsel–in–beweging in de bewegingsrichting er gekrompen uitzien en afmetingen in richtingen die loodrecht staan op de bewegingsrichting niet aan verandering onderhevig zijn. De Maxwellvergelijkingen laten we links liggen.
Het gaat om de formules:

      voor de richtingscosinus met de ξ–as en

     voor de frequentie in het stelsel–in–beweging.

De situatie is de volgende: Met behulp van een kijker nemen we een ster waar (zie figuur 1). Voor het gemak geven we de kijker een lengte van c meter (de werkelijke lengte speelt geen rol, het gaat om de verhoudingen). De afstanden langs de grond en verticaal zijn dan:

Horizontaal c. cos φ
Verticaal c. sin φ

Figuur 1 Een ster wordt waargenomen onder de hoek φ

We stellen ons de kijker nu voor als een koker (met al die lenzen en spiegels willen we niets te maken hebben). De evenwijdige bundel licht blijft in de koker gewoon een evenwijdige bundel licht.

We zullen laten zien dat een bewegende koker, met een waarnemer er achter, onder een andere hoek φ' naar de ster moet kijken en dat de frequentie van het licht f ' een andere waarde aanneemt.

Het is niet verwonderlijk dat de koker onder een andere hoek op de ster moet worden gericht, immers, vanwege zijn snelheid is de afstand langs de bewegingsrichting gekrompen. De ster staat dichterbij, maar zijn hoogte in de verticale richting blijft gelijk. Je zou kunnen denken dat de koker dan altijd meer omhoog moet worden gericht. Was dat maar waar, als de koker de ster tegemoet komt, moet hij lager worden gericht en als hij van de ster af beweegt, moet hij hoger worden gericht. Dat is het effect van "voorovergebogen door de regen fietsen". Als je de wind mee hebt, kan je echter rechtop gaan zitten.

In figuur 2 zien we dezelfde koker (in rust) terwijl een tweede koker met een snelheid +v passeert. Deze tweede koker heeft een andere lengte, maar zijn hoogte is dezelfde als van de eerste koker, en we nemen waar dat hij onder een andere hoek φ* op de ster is gericht. In de tijd (1 sec) dat het licht zich van D naar E beweegt door de rustende koker, verplaatst de bewegende koker zich over een afstand v. De lichtstraal beweegt door de rustende koker, maar als we deze even wegnemen, beweegt het plukje licht dat bij D de bewegende koker binnenging ook via de bewegende koker van D naar E. Probeer je dat voor te stellen, terwijl de bewegende koker langs de stilstaande schuift, beweegt het snijpunt van de twee kokers met de lichtsnelheid langs de stilstaande koker.

De hoek φ* verschilt van de hoek φ' die de waarnemer achter de bewegende koker zelf constateert.

Voor de waarnemer bij de rustende koker is de hoek φ* die de bewegende koker inneemt eenvoudig te bepalen uit de cosinus van die hoek: aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.

waarbij voor de schuine zijde Pythagoras is gebruikt.

Figuur 2 Stilstaande koker ED wordt gepasseerd door de koker E*D die zich na 1 sec op de plaats ED* bevindt

We bekijken dezelfde situatie vanuit het standpunt van de waarnemer die zich bij de bewegende koker bevindt. Naar zijn oordeel houdt hij de koker onder een hoek φ' (φ' is een andere hoek dan φ*) op de ster gericht. Zijn koker staat voor hem stil en hij wordt met een snelheid – v gepasseerd door de eerst genoemde koker van figuur 1. Dit is te zien in figuur 3. De hoek die de passerende koker volgens hem inneemt is φ**.

Figuur 3 Gezien vanaf de bewegende koker passeert de rustende koker met een snelheid  – v.

We beredeneren de hoek φ' . Vanuit het eerste, rustende stelsel zagen we de bewegende koker passeren onder een hoek φ*. De hoogte van de gevormde driehoek was c . sin φ en de aanliggende rechthoekszijde was c . cos φ + v. De hoogte in de y–richting verandert niet als je van stelsel verwisseld, maar de lengte van de aanliggende rechthoekszijde verandert wél. De afstand c . cos φ + v is de gekrompen lengte van de passerende koker. De waarnemer bij de bewegende koker zal een γ keer grotere lengte opmeten voor de aanliggende rechthoekszijde. Volgens hem is die lengte γ . (c . cos φ + v).

Ook de lengte van de koker zelf krijgt daarmee een andere waarde, volgens Pythagoras:

Hiermee kunnen we cos φ' berekenen:

(we halen γ onder het wortelteken vandaan):

(we delen teller en noemer door γ en schrijven het kwadraat en 1/γ² uit.

Bedenk             ):

(We pakken nu c². cos² φ + c². sin² φ samen tot c² en voor de laatste sin² φ schrijven we           1–cos² φ        ):

(Nu valt v² weg tegen – v². 1):

Onder het wortelteken blijkt nu een kwadraat te staan: (c + v. cos φ)² .

Daarmee krijgen we een belangrijk resultaat:

                        of

Naar deze formule waren we op zoek! Hij wijkt een beetje af van de formule in het artikel van Einstein omdat we de lichtsnelheid c niet als een vector, maar als een constante hebben behandeld zonder richting.

(Eigenlijk bevalt deze formule mij beter dan die van Einstein, voor een snelheid + v naar de lichtbron toe staat in de hier afgeleide formule ook een +teken)

Nu de kwestie van de frequentie in het stelsel–in–beweging. We bekijken het vanuit het stelsel–in–rust. De stilstaande koker strekt zich uit van D tot E. Op het tijdstip t = 0 valt het voorste punt van de passerende koker samen met het punt D. Op het tijdstip t = 1 valt het achterste punt van de passerende koker samen met het punt E.

De frequentie in het stelsel–in–rust is f. Dus in die éne seconde zijn er f golfjes met de golflengte λ de rustende kijker binnengetreden en ze komen precies op dat moment bij E er weer uit. In diezelfde tijd is het aantal golfjes dat de bewegende koker binnenging groter, want de koker heeft zich in de richting van de bron verplaatst. Uit figuur 4 is te zien dat het aantal golfjes dat zich in het gebied v . cos φ voor D bevindt ook de koker is ingegaan. Dat aantal is (v. cos φ)/ λ .

Dus vanuit het stelsel–in–rust zie je in 1 sec een aantal van f + (v. cos φ)/ λ golfjes de koker in verdwijnen.

De tijd in het stelsel–in–beweging tikt echter trager. Wat in het stelsel–in–rust 1 sec duurt, duurt in het stelsel–in–beweging 1/γ sec. Daarom wordt de frequentie in het stelsel–in–beweging

Bedenk dat λ = c/f en                 Daarmee wordt:

We vinden hier de formule die Einstein gebruikte om de Dopplerverschuiving van de frequentie en de aberratie te verklaren zonder van de Maxwellvergelijkingen gebruik te maken!    Ook in deze formule is - v  t.o.v. Einstein door +v vervangen.

Einstein zei direct in het begin van zijn artikel dat iedere theorie over de elektrodynamica uit moet gaan van de bewegingsleer van onvervormbare voorwerpen omdat daarmee uitspraken over de relatie tussen de voorwerpen, klokken en elektromagnetische processen kunnen worden gedaan. Dat hebben we hier aardig in de praktijk gebracht met onze starre kokers.

Het vinden van het juiste pad voor deze afleiding was een hels karwei. Het goed uit elkaar houden van de twee stelsels en het bedenken in welk stelsel je zelf zit, blijft uitermate verwarrend. Uw gids is dan ook zeer tevreden u deze praktische en uiteindelijk heldere, voorbeelden voor te kunnen leggen.

Figuur 4 De bewegende koker slokt nog wat extra golfjes op

Naar Boven