§5 Optellen van snelheden
                    Home Entree Centrale Hal Bovenzaal

Vertaling  

Naar de Uitleg §5 Optellen
Naar Portier     
Naar Inhoud Vertaling
Terug naar Vertaling §4 Effect op lengte en tijd      
Naar Vertaling §6 Toepassing op Maxwell vergelijkingen  

§ 5 Het additietheorema voor snelheden.

In het stelsel k dat met de snelheid v langs de X-as van het stelsel K beweegt, bevindt zich een bewegend punt dat zich verplaatst volgens de bewegingsvergelijkingen:

ξ = wξ . τ

η = wη . τ

ζ = 0

waarbij wξ en wη constanten zijn.

De vraag is welke beweging het punt ten opzichte van het stelsel K heeft. 
Indien men in de bewegingsvergelijkingen van het punt met behulp van de in § 3 afgeleide transformatieformules 
de grootheden x , y , z , t invult, verkrijgt men:

    

z = 0

Het optellen van de snelheden volgens de parallellogrammethode geldt dus volgens onze theorie slechts in eerste benadering. Als we schrijven:

 

w2 = wξ2 + wη2

en

     

Opmerking:  we vinden een drukfout in de originele tekst, de indices y en x in de laatste uitdrukking moeten eigenlijk η en ξ zijn

dan moet α als de hoek tussen de snelheden v en w worden gezien. Na een eenvoudige berekening volgt dan:

Merk op dat  v en w symmetrisch in de uitdrukking voor de resulterende snelheid voorkomen. Indien w dezelfde richting als de X-as (of ξ-as) heeft, houden we over:

Uit deze vergelijking volgt dat uit het samenstellen van twee snelheden, die kleiner zijn dan de lichtsnelheid, altijd een snelheid resulteert die kleiner dan c is. Substitueert men namelijk v = c – s1 en w = c - s2 , waarbij s1 en s2 positief en kleiner dan c zijn , dan geldt:

   < c  

Verder volgt uit de vergelijking dat de lichtsnelheid niet verandert in een samenstelling met een snelheid die kleiner is dan de lichtsnelheid. In dat geval krijgt men:

Voor het geval v en w dezelfde richting hebben, zouden we de formule voor U ook kunnen afleiden door achtereenvolgens de transformaties van § 3 tweemaal toe te passen. Als we naast de in § 3 optredende stelsels K en k nog een derde, parallel aan k bewegend, coördinatenstelsel k* invoeren waarvan de oorsprong zich langs de ξ – as met de snelheid w voortbeweegt, dan verkrijgen we tussen de grootheden x , y , z ,t en de overeenkomstige grootheden van k* vergelijkingen, die zich van de in § 3 gevonden formules slechts in die zin onderscheiden, dat in de plaats van "v" de uitdrukking

optreedt; men kan daaruit opmaken dat dergelijke parallelle transformaties  een groep vormen, zoals het hoort.

We hebben nu de benodigde formules voor de bewegingsleer, in overeenstemming met onze twee principes, afgeleid en we zullen nu  hun toepasbaarheid in de elektrodynamica aantonen.

Terug naar het begin