§2 Twee cowboys op een vliegende balk

Naar Uitleg § 2 plus
Naar Uitleg §3 Wiskunde
Naar Uitleg §1 Klokken
Naar Uitleg Inhoud        
Naar Vertaling §2 Balken
Naar  Portier   
Wil je een vraag stellen, ga naar Contact  

Hier zijn ze nog een keer de aannames van Einstein uit de inleiding:

1^ste aanname:

In deze paragraaf zal Einstein deze beide aannames herschrijven. 
Wat begonnen was als een vermoeden (geformuleerd als het "relativiteitsprincipe") werd een aanname en in deze paragraaf formuleert hij het weer anders, namelijk als 1^ste en 2^de principe! 
Zie hieronder.

 Kan dat allemaal maar zo? Ja, dat kan omdat de nieuwe formulering een beperking inhoudt. De eerste manier van de beschrijving van het "relativiteitsprincipe" op blz. 891 verwijst in het algemeen naar plaatsen waar de mechanicawetten geldig zijn; in de beschrijving die hij nu p.895 geeft, beperkt hij zich tot de stelsels die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen. Als de algemene formulering voor alle mogelijke plaatsen goed is, zal de beperkte formulering voor slechts de plaatsen die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen, zéker goed zijn.

Toch zet Einstein hier, zonder er een woord vuil aan te maken, ongemerkt nog een belangrijke stap voorwaarts, want hij praat niet meer over andere stelsels waar onze wetten geldig zijn, doch hij stelt in het 1^ste principe andere stelsels en ons stelsel gelijkwaardig aan elkaar:

Het tweede principe: "het licht in de lege ruimte beweegt zich altijd met een vaste snelheid…." beperkt hij tot "licht beweegt zich in het coördinatenstelsel-in-rust (in de lege ruimte) met een vaste snelheid". Dat is een verduidelijking want bij de eerste definitie blijf je je afvragen ten opzichte waarvan de snelheid de constante lichtsnelheid c is. Ten opzichte van het coördinatenstelsel-in-rust dus, waarbij, en dat is het gekke, ieder coördinatenstelsel dat zich eenparig rechtlijnig beweegt tot het "coördinatenstelsel-in-rust" mag worden gebombardeerd. De andere stelsels zijn dan ten opzichte daarvan in beweging. Bij meting in een stelsel-in-rust – en dus in ieder eenparig rechtlijnig bewegend stelsel – moet de lichtsnelheid gelijk aan c zijn. Einstein blijft hier nadrukkelijk uit de buurt van versnellende stelsels, daar wilo hij voorlopig zijn vingers niet aan branden.  
Daarmee is de cirkel rond, je kan dus ook zeggen dat het licht zich in de lege ruimte altijd met dezelfde, de vaste snelheid c voortbeweegt (als de snelheid wordt gemeten door een waarnemer die niet in versnelling is t.o.v. de vaste sterren).

Ø Dit is moeilijk te begrijpen; we komen er echter veelvuldig op terug!

Onder de "translatiebeweging", waarover Einstein in het relativiteitsprincipe spreekt, wordt verstaan dat de twee coördinatenstelsels een constante rechtlijnige beweging ten opzichte van elkaar hebben. Dus een vast punt uit het ene stelsel beschrijft met een constante snelheid een rechte lijn in het andere stelsel en omgekeerd.

Ø In het artikel en in de uitleg zal bijna uitsluitend over coördinatenstelsels in eenparige rechtlijnige beweging ten opzichte van elkaar worden gesproken.

Nadrukkelijk wordt in het 2^de principe gesteld dat voor de lichtsnelheid geldt:

Wat precies de "lichtweg" is, vertelt Einstein niet, maar neem gerust aan dat het de lengte is van de weg die het licht door de lege ruimte heeft afgelegd. De "tijdsduur" tussen vertrek en aankomst van het lichtsignaal moet met gelijklopende klokken, dus klokken die dezelfde tijd aangeven volgens de procedure van Einstein, worden gemeten. Zo kan je de lichtsnelheid meten.

Hier geeft Einstein al aan, zonder het met zoveel woorden te zeggen, waar het probleem zit:
 "Is de afstand tussen twee bewegende punten, de "lichtweg", voor het licht in het stelsel dat met de punten meebeweegt dezelfde als de "lichtweg" gezien vanuit het stelsel-in-rust én is de "tijdsduur" die nodig is om de afstand te overbruggen in het stelsel-in-beweging dezelfde als in het stelsel-in-rust?

Nu begint het. Let op! Einstein haalt er een starre, onvervormbare balk bij. Een starre staaf. In oude Nederlandse leerboeken werden die staven nog stijf genoemd, men sprak over stijve staven of latten. Te gek! Ik wil het Duitse "Stab" door "balk" vertalen omdat het iets concreter is en omdat we er ook waarnemers op zullen zetten. Van een staaf glijden ze af! Waar het Einstein om gaat, is dat die balk niet van lengte, breedte of dikte kan veranderen. Vormverandering van de balk is uitgesloten! Die balk heeft een lengte ℓ in het stelsel-in-rust gemeten met een meetlint of duimstok of wat dan ook en dat blijft de lengte ℓ ,dus daar kan geen twijfel over bestaan: ℓ = ℓ en geen millimeter minder. Vervolgens krijgt de balk een zet en beweegt met de snelheid v langs de x-as.

De vraag is: hoe kan je nu de lengte van de bewegende balk meten?

Op twee manieren:

1. Iemand holt mee met de balk en meet de lengte op met een rolmaat, een duimstok, een liniaal of met een modern meetapparaat. De lengte die deze hardloper meet, moet ook ℓ zijn, want de uitkomst van zo’n fysische meting moet volgens het  1^ste relativiteitsprincipe onafhankelijk zijn van het coördinatenstelsel waarin gemeten wordt. En de hollende man die de lengte opmeet, maakt op dat moment deel uit van het bewegende stelsel omdat hij even snel gaat als dat stelsel. Hij "staat stil" ten opzichte van het bewegende stelsel. De gemeten lengte is dus ℓ . Dat is wat je verwacht en dat is ook de mening van de hollende man. Verder geen gezeur daarover!

2. Maar, zegt Einstein p.896 , je kan de lengte van de bewegende balk ook meten vanuit het stelsel-in-rust. Je stelt in het stelsel-in-rust op een scherp bepaald tijdstip vast waar zich het achterste punt A van de balk bevindt  en waar zich het voorste, het beginpunt B, bevindt. De afstand tussen A en B wordt óók de lengte van de balk genoemd.

Vanwege dat scherp bepaalde tijdstip moeten de klokken in het stelsel-in-rust, die bij de meting worden gebruikt, gelijklopen. Dat is gelukkig geen probleem meer, daarvoor heeft Einstein het recept gegeven. En dan komt Einstein met de onthutsende mededeling dat de laatst gemeten lengte niet gelijk is aan ℓ . Maar hij vertelt er niet bij hoe groot die lengte is, daar zegt hij niets over. Hij maakt er zich met een Jantje van Leiden vanaf  Het zou prettig zijn als hij dat nog eens kwam uitleggen.

Is de meting dan niet goed? Dit moeten we kennelijk zelf uitzoeken. Maak je borst maar nat. Dat wordt hersengymnastiek.

Zo’n oefening bestaat bijvoorbeeld uit een korte cursus klokkijken!
We laten alle klokken in het stelsel-in-rust gelijklopen. Verder weten we dat de lichtsnelheid in het stelsel-in-rust niet afhangt van de snelheid van het object dat het licht uitzendt (of weerkaatst).

Figuur 2.01 Een bewegende balk boven een snelweg. Bij de punten B en A zitten de cowboys met hun revolvers

We gaan een proef doen met de bewegende balk boven een lege snelweg. Bij het punt A (Achter) en het punt B (Begin) hebben we twee van onze teamgenoten, twee cowboys, plaats laten nemen en we geven ze de opdracht op een scherp afgesproken tijdstip een gat in de weg recht onder het punt A respectievelijk B te schieten. Het gaat om die afspraak.

We hebben nu te maken met twee stelsels: 

1. Het stelsel-in-rust, de grond met de snelweg waar de grondploeg zich bevindt. We zullen dit vaak "ons  stelsel"  noemen 

2. Het stelsel-in-beweging, de balk met de cowboys. Dit stelsel zullen we ook wel "hun stelsel"  noemen. 

De klokken in het stelsel-in-rust lopen gelijk en de trotse cowboys op de balk hebben ook ieder zo’n klok meegekregen, die ze echter gelijk moeten laten lopen met onze klokken in het stelsel-in-rust. Dat is een belangrijke opdracht! We kunnen communiceren met de cowboys, dus als we zien dat een klok voorloopt of achterloopt, dan vragen we de betreffende cowboy de wijzers van zijn klok iets achteruit of iets vooruit te zetten. Verder staan overal op de grond klokken opgesteld, zodat de cowboys zelf ook kunnen zien of hun klok gelijkloopt met onze klokken. Cowboy A bemoeit zich niet met cowboy B en omgekeerd. Of hun twee klokken onderling gelijklopen, weten ze niet en dat hoeven ze niet te controleren. Dat is hun zorg niet. Dat is onze taak, wij zorgen ervoor dat beide klokken gelijklopen met onze klokken.  

 Op die manier zorgen de cowboys en wij in goede samenwerking dat hun klokken en onze klokken gelijklopen en dezelfde tijd aanwijzen; zij hebben dezelfde "tijd" als wij, sterker, zij maken gebruik van onze tijd.

Daar is op zichzelf niets mis mee. Een treinreiziger mag tijdens de reis gerust op  een perronklok, die in volle vaart passeert,  kijken en zijn horloge daarmee gelijkstellen. Je vraagt je misschien af of de perronklok volgens de reiziger wel dezelfde tijd aangeeft als volgens de perronchef. Het antwoord is JA! Tijdens de passage zou de reiziger de klok met zijn krant een klap kunnen geven waardoor de wijzers gefixeerd zouden worden. Dat is voor chefs en conducteurs een "Puntgebeurtenis" die voor allen dezelfde betekenis moet hebben, dat houdt in dat allen  de wijzers in dezelfde stand zien staan.  

 Op het afgesproken tijdstip schieten de boys vanaf de balk-enden de gaten in het wegdek. De grondploeg meet de afstand tussen de twee kogelgaten en verdraaid: minder dan we dachten, minder dan ℓ . We meten een afstand die we  r_AB noemen. 
Terug

Wat is er aan de hand!?

We vragen het de cowboys die er intussen bij zijn komen staan.
"Mijn kameraad heeft zeker te vroeg geschoten", oppert de achterste cowboy.
Dat lijkt ons sterk: cowboys staan bekend als punctuele schutters. Bovendien hebben we met eigen ogen gezien dat ze tegelijkertijd het schot losten.
"Misschien kan jij niet goed klokkijken en heb jij te laat geschoten!" gromt de voorste cowboy geërgerd.
Dat zou kunnen, een cowboy hoeft immers voor de uitoefening van zijn vak niet noodzakelijkerwijs goed te kunnen klokkijken, maar dit argument zou voor beide stoere jongens kunnen gelden. Wij verwerpen de suggestie omdat we met eigen ogen aan het opspattende asfalt hebben gezien dat ze gelijk schoten.
"Of die klokken lopen niet gelijk" zegt één van hen. 
"Die is gek", denken we, maar, om elke twijfel bij de cowboys weg te nemen, laten we hen controleren of hun klokken volgens het recept van Einstein gelijklopen. 

We vragen de cowboys opnieuw plaats te nemen op de balk en nadat we de balk met klokken en cowboys weer in beweging hebben gezet, zorgen we er opnieuw voor dat hun klokken dezelfde tijd aanwijzen als onze klokken. Daarna geven we de cowboys gelegenheid om  zelf te controleren of hun klokken wel gelijklopen. Dit moeten  ze doen door de klokkentest van §1 uit te voeren op de balk. 
Jij, als lezer, moet bedenken dat de balk met de klokken voor de cowboys een stelsel-in-rust vormt.

Ze doen de klokkentest:
De achterste cowboy zendt op tijdstip t_A een lichtsignaal naar de voorste. Het signaal komt op tijdstip t_B aan en wordt op hetzelfde moment gereflecteerd om uiteindelijk op t'_A weer in A terug te komen. Iedereen kan meekijken (je zou de wijzers kunnen laten oplichten als het lichtsignaal aankomt of vertrekt) en constateren dat de opgegeven tijden kloppen.

De cowboys verwachten  " t_B – t_A"  =  " t'_A – t_B " , omdat de afstand van A naar B even groot is als van B naar A. Het licht moet over de heenweg even lang doen als over de terugweg, denken ze. Maar eigenlijk nemen we ze in de maling door ze klokken mee te geven die onze tijd aanwijzen, de tijd van de grondploeg. De tijdstippen die de cowboys aflezen, zijn de tijdstippen die wij ook aflezen op onze klokken. Voor ons moet het licht echter op de heenweg een grotere afstand afleggen dan de lengte r_AB van de bewegende balk, want in de tijd dat het licht onderweg is, beweegt punt B zich over een afstand: v . (t_B – t_A).  De afstand die het licht op de heenweg moet afleggen is dus volgens ons groter dan r_AB :

r_AB + v . (t_B – t_A)

Ø We mogen voor de lengte van de balk niet ℓ invullen omdat we juist bezig waren de lengte te meten. De lengte van de bewegende balk is in ons stelsel vooralsnog onbekend en daarom moeten we er voorlopig een ander symbool voor kiezen, in dit geval r_AB .

De tijd die het lichtsignaal volgens ons over de heenweg van A naar B doet, en die door de cowboys wordt gemeten met de klokken die dezelfde tijd aanwijzen als onze klokken,  is dus

t_B – t_A = {r_AB + v . (t_B – t_A)} / c

Dit gaan we overzichtelijker schrijven:
Als je c naar de andere kant brengt, krijg je:     c . (t_B – t_A) = r_AB + v . (t_B – t_A)
We brengen de termen met (t_B – t_A) bij elkaar :     c . (t_B – t_A) – v . (t_B – t_A) = r_AB
en zetten vervolgens (c – v) tussen haakjes: (    c – v) . (t_B – t_A) = r_AB

Beide kanten delen door (c – v) en zo verkrijgen we de formule voor de tijd die het signaal er volgens ons over doet om van A naar B te komen:

Voor de terugweg p.897 geldt dat de afstand korter is dan r_AB . In de tijd dat het licht van B naar A onderweg is, is A het licht al over een afstand v . (t'_A – t_B) tegemoet gesneld. De terugweg is dus een afstand van r_AB – v . (t'_A – t_B) . Toon zelf op een vergelijkbare manier aan dat de tijd die het licht nodig heeft om van B naar A te geraken met de volgende uitdrukking wordt weergegeven:

Wij zijn verbijsterd. De klokken op de bewegende balk lopen niet gelijk (volgens het recept van Einstein)  terwijl we er voor gezorgd hadden dat ze gelijk liepen! Op de bewegende balk is er een tijdverloop van voor naar achter! 
De cowboys maken er weinig woorden aan vuil: "Die klokken zijn niet goed!"

"Waarom lopen ze niet gelijk?", vraagt iemand uit het team.

Nou, omdat "c – v" niet gelijk is aan "c + v" ; 
dan kan    niet gelijk zijn aan  , 
dus moet "t_B – t_A"  ongelijk zijn aan  "t'_A – t_B"  of te wel:   " t_B – t_A"  ≠  " t'_A – t_B " . 

Volgens de klokkentest lopen de klokken pas gelijk als de twee termen gelijk aan elkaar zijn. 

Als v positief is, moet "t_B – t_A" groter zijn dan "t'_A – t_B".

Dus als de klokken op de balk volgens ons gelijklopen met onze klokken, is er volgens de cowboys een tijdsverschil:

De klok van cowboy B (het begin, vooraan de balk) loopt volgens de klokkentest van Einstein (uitgevoerd op de bewegende balk)  vóór  op de klok van cowboy A (achteraan). De voorste klok loopt vóór!

Dus als je de klokken in het stelsel-in-beweging dezelfde tijd laat aanwijzen als de klokken van het stelsel-in-rust blijkt, wanneer je, zoals de cowboys, met de bewegende klokken meebeweegt, de voorste klok vóór te lopen op de achterste klok. Het lukt niet om beide klokken op de balk zowel gelijk te laten lopen met elkaar (gezien door de cowboys)  als met de onderling gelijklopende  klokken (gezien door ons) van het stelsel-in-rust . 
De klokken A en B lopen dus, óf voor ons, óf voor de cowboys gelijk.  

Het is verwarrend:  "Neem maar even een slokje water".

Je kan proberen je dit voor te stellen, ik wed dat het je niet lukt. Dit verhaal is van een buitengewoon, wonderbaarlijke onbegrijpelijkheid. Het is tegelijkertijd van een gekmakende ongrijpbaarheid. Het is niet te vatten. Telkens weer denk je dat je het snapt en dan glipt het weer weg. Je krijgt er geheid schele hoofdpijn van.
Er is dus geen enkele reden tot schaamte als je nog niet begrijpt wat er gebeurt. Nog niet! 
De alinea waarin Einstein luchthartig stelt dat de heren waarnemers (onze cowboys) op de balk tot de conclusie komen dat hun klokken niet gelijklopen terwijl de hele wereld van het stelsel-in-rust zegt dat ze wél gelijklopen, is de moeilijkste passage van het hele artikel en tevens de essentie. We zullen dat probleem dan ook van alle kanten bekijken, betasten, besnuffelen en bekloppen tot we het allemaal begrijpen. 
Jij ook daar!

Maar laten we eerst even stilstaan bij een paar vragen uit de groep:

Ø Wat is het probleem nou eigenlijk, de cowboys lezen toch de tijd van klokken af die gelijklopen. Je zei zelf dat de cowboys de klokken gelijk moesten zetten. Ze zien toch ook dat ze gelijklopen!

Het is juist dat wij de cowboys instrueerden hoe ze hun klokken gelijk moesten laten lopen met onze klokken. Of de klokken naar de mening van de cowboys gelijkliepen, is niet gevraagd. Ze hadden misschien direct al het vermoeden dat de klokken niet gelijkliepen, maar omdat wij ze niet wilden geloven en omdat ze zelf ook behoorlijk twijfelden, moest via de meetprocedure van § 1, uitgevoerd door de cowboys op de balk, worden aangetoond dat de klokken, niet gelijkliepen. Het probleem is dus dat wij vinden dat de klokken gelijklopen, en dat kunnen we ook via metingen tussen onze klokken en door vergelijking met die op de balk aantonen, en de cowboys vinden dat ze niet gelijklopen en dat hebben ze ook aangetoond.

Ø "Lezen de cowboys tijdens hun meting op de klokken dezelfde tijd af als wij?"

Goede vraag. Het antwoord is "ja". De tijden die worden afgelezen, zijn de tijdstippen waarop het lichtsignaal de klok verlaat of bereikt. Je zou op dat moment via een lamp de wijzerplaat van de klok even kunnen verlichten. Iedereen, in welk stelsel ook, kan dan alleen maar de stand van de wijzers zien die behoort bij dat tijdstip. Die stand ligt vast. Je zou de wijzerstand ook via de radio kunnen laten omroepen. Aan de wijzerstand valt niet te tornen. Wij zien heus wel dat uit de afgelezen tijdstippen dat de lichtstraal vertrekt, gereflecteerd wordt en weer aankomt, de conclusie moet worden getrokken dat de klokken niet gelijklopen. De heenweg duurt langer dan de terugweg. Desondanks zien wij alle klokken gelijklopen en tegelijkertijd moeten we accepteren uit de meting die de cowboys doen dat de klokken in hun bewegende stelsel niet gelijklopen. Wij hebben een ernstig probleem.

Ø "Als ik hier even op door mag gaan, je zegt dat de wijzerstand en het aanflitsen van de lamp om de wijzerplaat te verlichten, twee gelijktijdige gebeurtenissen zijn, maar we proberen toch aan te tonen dat het in het andere stelsel niet gelijktijdig is? Of ben ik nou gek?"

We hebben eigenlijk zojuist laten zien dat twee gebeurtenissen die op enige afstand van elkaar plaatsvinden in het ene stelsel gelijktijdig kunnen plaatsvinden terwijl vanuit een ander (bewegend) stelsel gezien de gebeurtenissen ongelijktijdig kunnen plaatsvinden. We nemen hier aan dat de lamp en de wijzer zo dicht bij elkaar staan dat het licht over deze afstand een te verwaarlozen tijd doet. Dan speelt het voorgaande geen rol. Maar daar komen we nog op terug. 

Ø Ik begrijp er geen reet van!

Volgende vraag!

Ø "Kunnen klok A en klok B überhaupt wel gelijklopen in het stelsel-in-beweging?"

Ja, interessante vraag, maar eenvoudig te beantwoorden: Als klok B een stukje wordt teruggezet, namelijk met de helft van de tijd dat de klok vóórloopt, zal "t_B – t_A " wél gelijk zijn aan "t'_A – t_B". Zolang klok B dat stukje tijd achter blijft lopen op onze klokken en klok A gelijkloopt met onze klokken zullen ze gelijklopen in het stelsel-in-beweging.

Ø "Kan dat wel, die "c + v" in de formule, dat is toch sneller dan het licht!!

De snelheid "v" zit er alleen maar in omdat de afstand van B naar A op de terugweg kleiner wordt tijdens de reis van het licht: de afstand is korter geworden met de afstand die de balk in de tijd (t'_A – t_B) heeft afgelegd: v . (t'_A – t_B) . We leggen het uit.

De afstand die het licht moet afleggen (de lichtweg) op de terugweg is dus: 

                                            r_AB – v .(t'_A – t_B)

De tijdsduur  t'_A – t_B  die het licht daar over doet, is :   

We werken dit netjes uit (eigenlijk eenzelfde berekening als een stukje terug ):

→ breng de allerlaatste term links van het = teken (let op min wordt plus)       

→ breng (t'_A – t_B ) buiten haakjes

→ breng (1+v/c) naar de andere kant

→ het resultaat wordt

Dit is de term waar het om  ging.

Dus "c + v " stelt hier niet de snelheid voor van iets, het heeft geen fysische betekenis!. Het is gewoon een wiskundige term die tijdens de uitwerking opduikt.

Ø "Als je de tijdtest in de andere richting uitvoert dan de richting waarin de balk beweegt, komt het dan beter uit?"

Dat maakt niet uit. Als je de proef herhaalt, maar je laat de lichtstraal niet uit A maar uit B vertrekken om bij A te worden weerkaatst om weer in B te komen, krijg je dezelfde uitkomst: Opnieuw loopt B voor op A.

Ø "Als je de balk de andere kant op laat bewegen?"

Dan draait het om. Als je de balk een snelheid de andere kant op geeft, waarbij het punt A het voorste punt wordt, dan zal de klok in A voorlopen op de klok in B. Bedenk dat het nog steeds de klokken zijn die, gezien vanuit het stelsel-in-rust, gelijklopen, maar volgens de meebewegende cowboys, die de test hebben gedaan, niet gelijklopen.

Jazeker en op de balk heerst een ander tijdregiem, dus als je de tijden op de balk wil vergelijken met de tijden van het grondstation moet je keer op keer die tijden met elkaar afstemmen.

Ø "De klok die het dichtst bij ons is, moet toch altijd voorlopen omdat het licht ervan ons eerder bereikt?"

Dit is één van de dingen die het verwarrend maakt. Voor één waarnemer op de grond zal het inderdaad zo zijn dat hoe verder een klok weg is, hoe meer de tijd op die klok achterloopt omdat het licht tijd nodig heeft om de waarnemer te bereiken. Dat geldt ook voor alle gelijklopende klokken in het stelsel-in-rust. Als je een (volgens de procedure van § 1) gelijklopende klok op de maan zou kunnen aflezen (vanuit een punt op aarde dat zich niet beweegt ten opzichte van de klok op de maan), zou je zien dat de klok ruim één seconde achterloopt op onze klokken. Dat heeft met de lichtsnelheid te maken: we kunnen de klokken namelijk niet gelijktijdig aflezen (tenzij je precies midden tussen de twee klokken zou zweven, in de ruimte). Dit is een effect dat los staat van het gelijklopen van de klokken, maar het effect is wel vele malen groter dan het effect waar we het hierboven over hebben. 
Het vóórlopen waar we het in deze paragraaf over hebben, is het vóórlopen als gevolg van de snelheid van de balk waarop de klokken zich bevinden! Het maakt met name, en het is goed je dat te realiseren, niet uit of de balk er aankomt of zich verwijdert, altijd loopt de klok die zich vooraan in de bewegingsrichting van de balk bevindt, vóór, althans volgens de cowboys die de meting verrichtten. Let op: het gaat nog steeds om klokken op de balk die we gelijk laten lopen met onze klokken, die dus volgens ons gelijklopen.

Ø Lopen volgens de cowboys onze klokken eigenlijk wel gelijk?

Ook voor de cowboys geldt dat in eerste instantie onze klokken en hun klokken precies gelijklopen, want zo zijn ze afgesteld. Als ze hun klokken echter via de klokkentest gelijk willen laten lopen, dan moeten ze hun voorste klok een stukje terugzetten want hij liep vóór. Daardoor zal de achterste grondklok vóór blijken te lopen op de voorste grondklok:  de cowboys constateren dan dat onze klokken niet meer gelijklopen. 
Wanneer je dit in gedachten uitbreidt voor een lange reeks balkklokken en grondklokken dan zullen de cowboys bemerken dat de eerste grondklokken die ze tegenkomen achterlopen op de volgende en die weer op de volgende, enzovoort. Nu geldt zowel voor de cowboys als voor het grondteam voor de waargenomen klokken van de ander: de achterste klok loopt vóór! Op voorwaarde dat de cowboys hun klokken gelijk hebben gezet.

Ø "Als de cowboys de klokken op de balk gelijk laten lopen volgens hen, loopt de voorste klok dan volgens ons achter?"

Ja, dat heb je goed gezien. De voorste cowboy moet zijn klok een stukje terugzetten en daarmee loopt de voorste klok achter ten opzichte van onze klokken, maar ook achter ten opzichte van de klok van cowboy A - volgens ons - want die loopt nog steeds gelijk met de grondklokken. 
De tijdaanwijzing van de twee klokken vormen twee gebeurtenissen en je ziet dat deze twee gebeurtenissen in het ene stelsel gelijktijdig zijn, want ze lopen gelijk, terwijl ze in het andere stelsel niet gelijktijdig zijn.

Ø Hoeveel loopt de klok in het laatste geval achter en is die balk nou van lengte veranderd ja of nee en zo ja, hoeveel dan wel? Kunt je het wat duidelijker uitleggen?

Dit is de hamvraag. Einstein waagde zich niet direct aan het beantwoorden ervan. Hij zegt hier niet meer over dan dat gelijktijdigheid in het ene stelsel, vanuit het andere stelsel bezien geen gelijktijdigheid hoeft te zijn. Over de te meten lengte zwijgt hij vooralsnog als het graf. Hij loopt niet vooruit op de zaken. Wij zullen dat evenmin doen.

We gaan eerst zelf aan de slag. Voorbereidende oefeningen! Pas als we enige ervaring hebben opgedaan, zullen we ons aan het volgende deel van de tocht wagen. We slaan ons bivak op en blijven hier nog een dag. Zie uitleg §2 plus.

 Terug
Verder naar Uitleg  §2plus