Foto   wervelwind  
Foto   draaikolk   
Naar Uitleg §7 Sterren
Naar Uitleg §6 Maxwell
Naar Uitleg Inhoud 
Naar Centrale Hal

§ 6plus Wervelwinden en draaikolken

Het begrip rotatie wordt toegepast bij vectorvelden. Je zou het niet denken, maar het is een hartstikke lastig begrip. We komen het in het artikel van Einstein tegen bij magnetische en elektrische velden, maar het is veel beter om eerst eens naar de stromingsleer te kijken waar het tenminste een tastbaar begrip is.

In Einsteins verhaal staat  bijvoorbeeld  de wiskundige uitdrukking rot E voor het elektrisch vectorveld E = (X , Y, Z). Dat wordt uitgeschreven als:

rot E =

Zoals je ziet is de rotatie van de vector E ook een vector met een x–, een y– en een z–component. De componenten zijn opgebouwd uit partiële afgeleiden, de 'kromme d'. We hebben ze eerder gezien ergens halverwege  de uitleg van §3. Daarbij gaat het om de verandering tengevolge van één variabele terwijl de andere variabelen constant worden gehouden. Het bijzondere is dat je voor de x-component van rot E de Y differentieert naar z en Z differentieert naar y. Alles staat zo'n beetje loodrecht op elkaar.

In de stromingsleer is het vectorveld waar het begrip rotatie op wordt toegepast een snelheidsveld. De vector v geeft de snelheid in een zeker punt van de vloeistof of het gas weer. Wanneer het om een horizontale stroming gaat, heeft de snelheidsvector slechts twee componenten v_x en v_y.

Het is gebruikelijk om deze componenten v_x en v_y te noemen in tegenstelling tot wat je verwacht naar aanleiding van het eerder gedefinieerde coördinatenstelsel waarbij in het horizontale vlak naast de x–component ook de z–component te vinden was en waarbij de y–component verticaal werd getekend.

Wij geven de snelheden in het horizontale vlak dus aan met v_x en v_y en de verticale richting is in dit geval de z–richting.

Als iets ronddraait, kan je meestal een as aanwijzen. Voor een draaitol is het duidelijk. De tol (zweeptol, priktol, bromtol, gyroscoop) draait in of schommelt om het horizontale vlak, de as staat loodrecht op het draaivlak. In welk vlak de tol draait, is dus gemakkelijker aan te gegeven met de richting van de draaias die er loodrecht opstaat. De draaiing kan daarom worden aangegeven met een vector langs de draaias, die de grootte en de richting van de draaiing  symboliseert. Een draaiing in het horizontale  xy- vlak geef je dus aan met een rotatievector die een bepaalde grootte en richting langs de z–as heeft. Ook een draaikolk in het water heeft een min of meer verticale rotatievector evenals een windhoos, een tornado (zie fig. 1) (of een orkaan of een stormdepressie).

Of de vectorpijl omhoog of omlaag gericht is, kan worden. bepaald met de kurkentrekkerregel: de draaiing van je hand en de richting waarin de schroef van de kurkentrekker zich in de kurk beweegt, horen bij elkaar. Een draaikolk, die van boven gezien met de klok meebeweegt, heeft een rotatievector die naar beneden is gericht, naar de negatieve z–as.

Vraag: Hebben stormdepressies op het noordelijk halfrond een opwaarts gerichte rotatievector of een neerwaarts gerichte rotatievector?

Figuur 1 Tornado (VS.. ….. …)

De draaiing wordt dus aangegeven met een vector (grootte + richting) in de verticale z–richting.

De rotatie van het snelheidsveld v kan nu op eenzelfde wijze als de rotatie van het elektrische veld worden geschreven, dat wil zeggen dat de componenten   v_x,  v_y,  v_z  op dezelfde plaats in de formule staan als de componenten X, Y en Z van E:

Maar, in dit geval, nu er geen snelheid in de verticale richting is, geldt v_z = 0. Maar dan is ook de afgeleide van v_z naar x of naar y gelijk aan 0:     
Als we verder veronderstellen dat de stroming vlak is, dat wil zeggen dat de stroming niet afhangt van de hoogte, dan is v_x noch v_y afhankelijk van z., dus         . 
Dan houden we over:         .
De vector rot v heeft alleen een z–component. Het is een vector met de richting van de draaias en een grootte die afhangt van hoe de draaiing wordt gedefinieerd. 

Daarmee komen we op de vraag: hoe kan je een hoeveelheid rotatie aangeven? 
Vast niet in kilogrammen! Maar hoe wel!?

Daar duiken we in!!!

Je kan je voorstellen dat je de rotatie bepaalt door aan te geven hoe krom de stroomlijnen van het snelheidsveld ter plekke lopen. Dat zal blijken geen goed uitgangspunt te zijn, omdat er met name cirkelvormige stromingen zijn met totaal verschillende rotatiewaarden, afhankelijk van de snelheidsfunctie, terwijl de kromming, langs eenzelfde cirkel, dezelfde is. Bij het begrip rotatie moet een gebiedje rond een zeker punt erin worden betrokken.

Een tweede gedachte is de rotatie aan te geven met de snelheid waarmee het snelheidsveld op die plaats om zijn as draait. Een nieuwe vraag doet zich voor: "Hoe moet je dat opvatten?"

Figuur 2 Rotatie

Op de volgende manier:
Je neemt in gedachten een klein elementje E van de bewegende stof en je bekijkt hoe het de stroming volgt. In de bochten A en B moet het draaien (zie fig. 2). De rotatie moet worden gezien als de snelheid waarmee dit elementje op die plek op dat moment aan het draaien is.
De vraag die hieruit voortvloeit, is:  "Hoe geef je aan hoe snel iets draait?"
In het dagelijks leven neem je daarvoor: het aantal keren per seconde dat iets om zijn as draait. Dat is de frequentie in Hz. Maar binnen het bouwwerk van de fysica (en de techniek) is een andere eenheid gangbaar, namelijk de hoekverdraaiing per seconde. En deze wordt dan niet uitgedrukt in graden per seconde, maar in radialen per seconde (rad/sec). Dit wordt de hoekfrequentie genoemd (ook wel, maar minder helder: de cirkelfrequentie). Wanneer iets geen cirkelbeweging uitvoert, maar wat vager om zijn as schommelt, gebruiken we het woord hoeksnelheid. Het symbool voor hoekfrequentie, cirkelfrequentie en hoeksnelheid is ω (in rad/s)

Uitleg over radialen per seconde. We laten in gedachten een punt P rondjes draaien langs een cirkel (zie figuur 3). De straal van de cirkel is r. Die lengte noemen we een radius (= Latijn voor straal) . Iedere keer als het punt langs de cirkel een afstand heeft afgelegd die gelijk is aan r heeft het punt een radius afgelegd. De bijbehorende hoek heet een radiaal. Omdat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2πr, zal het punt 2π radialen hebben afgelegd bij een enkele omloop. Maar één omloop komt ook overeen met 360º. Daaruit mag je concluderen dat 1 radiaal gelijk is aan 360º/2π = ongeveer 57,3 º.

                     Figuur 3 De radiaal

De rotatie kan dus worden aangegeven met de hoeksnelheid. Dat laatste wordt nu met behulp van de uitdrukking rot v gedaan.  In de handboeken wordt beweerd: rot v = 2ω. We gaan dat controleren.

We gaan terug naar een stroming in het horizontale vlak. Zoals we hebben gezien, geldt voor de z–component van de rotatie:    

geeft aan hoe snel de snelheidscomponent in de y–richting in grootte verandert als je langs de x–richting varieert. Evenzo geeft aan hoe snel de x–component van de snelheid in grootte varieert langs de y–richting. Dat lijkt weinig met een hoeksnelheid ω te maken te hebben, maar we zullen het zien.

We bekijken een model van een orkaan (hurricane, cycloon). 
In het centrum van het oog (met straal R) van de orkaan is het windstil, maar naarmate je dichter bij de rand van het oog komt, waait het steeds harder. Precies op de rand is de windsnelheid het grootst en naarmate je nog verder verwijderd raakt van het oog neemt de wind weer af. De wind draait cirkels zodat de richting altijd loodrecht op de straal naar het centrum van het oog staat (zie fig. 4a). Het model bestaat uit het volgende:

vanaf het centrum tot de rand van het oog is de grootte van de windsnelheid evenredig met de afstand r tot het centrum, dus v = c . r. Dit wordt rotatiestroming genoemd. De rotatie van een gewoon wiel gedraagt zich net zo.

vanaf de rand van het oog neemt de grootte van de snelheid omgekeerd evenredig met de afstand r tot het centrum af, dus v= k/r. Dit wordt circulatiestroming genoemd

op de rand van het oog r = R voldoet de snelheid aan beide vergelijkingen, zodat daar geldt c.R = k/R. (zie fig 4b)
Met zo'n model kan je berekeningen doen en de uitkomsten vergelijken met een werkelijke orkaan.

Gezien de verhalen van de "gelukkigen" die door het oog van de orkaan zijn gekropen en die de complete rust aldaar prijzen, zal dit model voor het ooggedeelte niet goed kloppen. 
(Zie ook via het KNMI de websites over orkanen)

Figuur 4a Het windveld in en rond het oog van een orkaan

 

Figuur 4b Model van de windsnelheden

We gaan rot v berekenen in het "ooggebied" en daarbuiten. We maken gebruik van de definitie van een cirkel waarbij we de oorsprong van het assenstelsel in het centrum van het oog plaatsen: r² = x² + y²

Voor de rotatiestroming in het centrale deel krijg je dan: en
voor de circulatiestroming buiten het centrale deel:      

Met behulp van tekening 5 kunnen we de x–component en de y–component bepalen.

Voor de rotatiestroming krijg je

v_x = – v . sin φ = – c . r . sin φ = – = – c . y       en

v_y = + v . cos φ = – c . r . cos φ = + + c . x

Dus: v_x = – c . y            en               v_y = + c . x

Figuur 5 De componenten van de snelheid bij een cirkelvormige beweging

Deze eenvoudige formules voor v_x en v_y zijn gemakkelijk te differentiëren. Let op: om rot v te bepalen, pas je partiële differentiatie toe, dus als je naar x differentieert, beschouw y als constante en omgekeerd.

We krijgen dan: en .

Hiermee wordt:               

In de eerste plaats is de rotatie voor het type rotatiestroming een constante, overal in het gebied waar de rotatiestroming optreedt, in het oog van de orkaan, heeft hij dezelfde waarde. Dus "het’ roteert binnen het oog overal in dezelfde mate. Dat klopt wel, want als je twee punten A en B bekijkt, zijn die ten opzichte van elkaar na één rondje ook een rondje ten opzichte van elkaar gedraaid (zie fig. 6). Het punt B bevindt zich eerst rechts van het punt A en een halve ronde later bevindt B zich links van het punt A. Dat geldt voor alle punten, of je ze nou ver uit elkaar kiest of vlak bij elkaar.

Figuur 6 Rotatiestroming

Neem eens c = 2 π, dan is v = 2 π . r, dat wil zeggen dat de snelheid van een punt dat zich op een afstand r van het middelpunt van de cirkel bevindt zodanig is dat per seconde één rondje wordt afgelegd. De hoek φ (zie fig. 4) die de voerstraal tussen het middelpunt en het bewegende punt met de x–as maakt, is dan na één seconde 360º of 2π radialen groter geworden. Diezelfde 2π! Als we de hoek in radialen uitdrukken, is c dus de hoeksnelheid  ω   (= de toename van de hoek per seconde) in radialen per seconde.

De waarde 2c van de z–component van rot v is dus gelijk aan tweemaal de hoeksnelheid. Je vraagt je af wat de wetenschappers heeft bezield om af te spreken die factor twee in te voeren. Waarom niet gewoon rot v gelijk te stellen aan de hoeksnelheid ω? Dat zou veel eenvoudiger zijn.

Om achter deze raadselachtige afspraak te komen, bekijken we ook de circulatiestroming (zie fig. 7) waarvoor, zoals we zagen, de volgende snelheid geldt:

Figuur 7 Circulatiestroming

Hierbij is

v_x = – v. sin φ = – . = en

v_y = v . cos φ = . = +

Nu bepalen we rot v met

We hoeven alleen maar de z–component te bepalen omdat de rotatie in het xy–vlak plaatsvindt. Dan heeft de rotatievector, zoals eerder is gezegd, slechts een component in de z–richting.

We bepalen de afgeleiden met de quotiëntregel voor differentiëren :

= .k

geeft op analoge wijze

Neem nu en het resultaat komt uit op nul!

Terug

Dat is heel gek, ronddraaiende vloeistof die geen rotatie bezit. Dat verwacht je niet.

Daarmee komen we op de essentie van het begrip rotatie. Als de rotatie in het xy–vlak plaatsvindt, wordt de rotatie gevonden door de hoeksnelheid langs de x–as en die langs de y–as bij elkaar op te tellen. Die hoeksnelheden hoeven namelijk niet gelijk aan elkaar te zijn en door ze op te tellen, krijg je een maat voor de rotatie van het gehele elementje.

Deel het nog even door twee, zou ik zeggen, dan heb je de gemiddelde hoeksnelheid als maat voor de rotatie, dat is toch wel zo aardig!     Eigenwijs, dat doen "ze" niet.

Maar, hoor ik je sputteren, je moet ze niet optellen, maar van elkaar aftrekken.
Dat is een interessante kwestie. In de volgende figuur 8a is een elementje getekend dat een kleine rotatie tegen de wijzers van de klok in heeft ondergaan als gevolg van de snelheden waaraan het is blootgesteld. Eerst vielen twee loodrecht op elkaar staande lijntjes van het elementje samen met de x–as en de y–as en na korte tijd maakten ze daar een hoek mee. Het lijntje waar v_y bij staat, laat de verplaatsingen zien in de y–richting . De hoekverdraaiing die het lijntje ondergaat, vind je met de afgeleide van v_y naar x (=de richtingscoëfficiënt). In de tekening is het een positieve hoek en is ook positief.

Figuur 8a De hoekverdraaiing langs de twee assen

Langs de y–as heeft het lijntje óók een positieve hoek afgelegd. Het lijntje v_x geeft de grootte van de snelheid in x–richting weer. Maar in dit geval heeft een negatieve waarde, want met toenemende y wordt v_x steeds negatiever, hij wordt groter, maar in de negatieve richting.  Daarom heeft de betekenis van het bepalen van netto hoekverdraaiing voor het elementje waarbij een hoek tegen de wijzers van de klok in als positief wordt gerekend.

Voor de circulatiestroming is nu te begrijpen dat je op nul uitkomt: een verticaal lijntje krijgt na korte tijd een positieve hoekverdraaiing (tegen de klok in) en een horizontaal lijntje krijgt een even grote, negatieve verdraaiing (zie fig. 8b)

Figuur 8b Hoekverdraaiing bij circulatiestroming

De uitdrukking rot v geeft dus de som van de twee hoeksnelheden langs de x–as en de y–as als ze allebei in de zelfde richting draaien en dat is tweemaal de gemiddelde hoeksnelheid van het elementje dat in de stroming mee dobbert. Vandaar misschien de factor 2.

We kunnen het ook op de volgende manier bezien (zie fig. 9).

Figuur 9 Rotatie als gemiddelde van de hoeksnelheid van horizontale en verticale assen van een elementje

Een elementje in de stroming stroomt van A naar B. Het gaat om een cirkelvormige beweging. De hoek φ is in radialen uitgedrukt: φ = v(r). t / r dat wil zeggen: de snelheid ter plekke is v(r) en na t seconde is de afgelegde afstand v(r) . t. 
De hoek in radialen vind je door de afstand te delen door de straal.

De stroming staat altijd loodrecht op de straal, dus een verticaal lijntje bij A is bij B over dezelfde hoek φ  tegen de wijzers van de klok in afgebogen.

De hoeksnelheid ω_vert van een oorspronkelijk bij A verticaal gedeelte van het elementje, dat in t seconde over een hoek φ is gedraaid, vind je door de hoek te delen door de tijd:

ω_vert = v(r) / r.

Een horizontaal lijnstuk bij A buigt juist met de wijzers van de klok mee bij B. Voor een korte tijd t, als het lijnstuk zich nog nauwelijks heeft verplaatst, mag je de beweging omhoog als rechtlijnig beschouwen. De snelheid is wel afhankelijk van de afstand. De lijn waar v(r).t bijstaat is de plaats waar de elementjes die zich eerst op de x–as bevonden, zich na t sec bevinden. De afgeleide van v(r).t naar r geeft op dat moment de richtingscoëfficiënt (tg ψ) aan van de functie v(r).t (zie fig. 8). Nu geldt voor kleine hoeken tg ψ = ψ en daarom kunnen we, als we t klein houden, schrijven:

ψ  = .

Daaruit volgt voor de horizontale hoeksnelheid via delen door de tijd t:

ω_hor =

De gemiddelde hoeksnelheid over de verticale en de horizontale assen van het elementje is

ω_gemiddeld = ½ .(ω_vert + ω_hor) = ½ .

en dus is     rot v = 2 ω_gemiddeld = ω_vert + ω_hor .

Met de hier gegeven relaties kan de rotatie en de hoeksnelheid van stromingen die een cirkel beschrijven, worden berekend (zie tabel 1). In deze tabel zie je de rotatiestroming terug en ook de circulatiestroming. Verder staan onderaan de tabel twee buitenbeentjes: de planetenbeweging en (nieuw) de cirkelrotatie stroming van de planeten die te maken heeft met de relativistische  periheliumverschuivingen van hun banen. De snelheid van deze twee bevat een halftallige exponent bij de afstand in tegenstelling tot de andere stromingen in de tabel.

Toegevoegd is als "nieuw": de hadj-stroming, een bijzonder voorbeeld van een cirkelvormige stroming (bestaande uit mensen) met een overal constante snelheid  . De hadj-stroming is de massastroom in Mekka van gelovigen    in de grote moskee rond het heiligdom Ka’aba, het rechthoekige, met zwart doek omhulde bouwwerk op het centrum van het plein in de tempel. Deze gelovigen lopen met een constante snelheid zevenmaal rond de Ka’ aba , tegen de wijzers van de klok in: v(r) = constant. De stroming heeft een positieve hoeksnelheid en daarom ook een positieve rotatie, die groter wordt naarmate de mensen dichter bij het heiligdom komen. 
Ook hardlopers op een atletiekbaan die met dezelfde snelheid in hun eigen baan door een bocht lopen, vertonen ook dit type rotatiestroming.
(We zoeken een tijdopname die de stroming goed weergeeft)

De rotatie en de hoeksnelheid van de circulatiestroming is, zoals we al hadden berekend, gelijk aan nul. Je ziet dat die nul precies past in het rijtje waarden in de derde kolom. 

Tabel 1 Rotatie en hoeksnelheid van stromingen die een cirkel beschrijven