Uitleg

Terug naar de Centrale Hal
Terug naar Inhoud Uitleg
Terug naar Uitleg §2
Naar Uitleg §3 Wiskunde

§ 2plus       Te vlug geschoten!

Einstein beweert op p. 896 dat de lengte van de bewegende balk verschilt van de lengte van een rustende balk. Hij toont het echter niet aan! Hij laat alleen maar zien dat er met die klokken iets geks aan de hand is, ook interessant, maar het ging om de lengte van de balk. Hij is er zelf over begonnen en nu willen we het weten ook! Hoe zit het met de lengte van die balk…..!? 
Geen antwoord.

We zullen het wel zelf uitzoeken, daar hebben we Einstein niet bij nodig. "De lengte van de balk terwijl deze voorbijvliegt?" Doen we even.

Het gaat om een idioot probleem: als wij ervoor zorgen dat de klokken van de cowboys gelijklopen met onze klokken, kunnen de cowboys door een meting laten zien dat we er naast zitten. De voorste klok bij B loopt voor op de achterste klok bij A. De klokken op de voorbijvliegende balk kunnen niet gelijklopen volgens de meting.

De cowboys op de balk zitten opgescheept met onze tijd, daar zit het probleem. Als de cowboys echter hun twee klokken gelijkzetten volgens hun inzicht, zien wij door gelijktijdig de klokken A en B af te lezen dat de voorste klok B achterloopt ten opzichte van klok A.

"Het is nooit goed!", lijkt het wel.

Omgekeerd geldt volgens de cowboys voor de klokken die we langs de snelweg hadden opgesteld (zie fig. 2.01 van §2) dat de voorste klokken achterlopen op de klokken achteraan. Hierbij is een "voorste klok" een klok die eerder wordt gepasseerd dan een volgende klok. Het gaat niet om de afstand tot de klok, want van de gepasseerde klokken is de klok die het eerst werd gepasseerd en die zich misschien al op een grotere afstand van de cowboys bevindt, nog steeds de "voorste klok"!

Hoe je het ook wendt of keert, de tijd van de cowboys krijgt andere waarden dan onze tijd.

Er is nog iets wat goed moet worden afgesproken, namelijk, wat verstaan we onder de lengte r van een bewegende balk. Daaronder moeten we de lengte verstaan zoals we die kunnen meten terwijl de balk beweegt. Dat kan op twee manieren.

1^ste We staan zelf stil en we meten de lengte van de voorbijvliegende balk door op één tijdstip te bepalen waar het beginpunt B en de achterkant A van de balk zich bevinden

2^de We meten op een bepaalde plaats het tijdverschil tussen de momenten dat de punten B en A op die plaats voorbijkomen en dit tijdverschil vermenigvuldigen we met de snelheid v van de balk.

De lengte, die de cowboys op de bewegende balk zelf meten, de afstand tussen A en B, is niet de lengte die we willen weten. Wat zij meten is namelijk de lengte van de balk–in–rust, omdat de balk waar zij opzitten voor de cowboys in rust is. Zij meten de lengte met een meetlint dat ze langs de balk leggen. Die lengte kennen we wel, die is ℓ. Die waarde meten we zelf ook als we de balk in rust opmeten.

We zullen nu op eigen houtje de lengte r van de balk-in-beweging bepalen. We gaan uit van twee identieke balken, die beide een lengte ℓ hebben als je ze in rust meet met een meetlint. De balk waar de cowboys A en B zich op bevinden, krijgt een snelheid v en vliegt voorbij. Als je nu zijn lengte meet door de cowboys gelijktijdig (volgens onze klokken) een gat in het wegdek te laten schieten, of door de tijd te meten tussen het voorbijvliegen van B langs P en van A langs P, dan meet je de lengte r. In het laatste geval ga je ervan uit dat je de tijd mag vermenigvuldigen met de snelheid v.

Dit brengt ons op de vraag of de snelheid v van AB ten opzichte van PQ even groot is als de snelheid van PQ ten opzichte van AB. 
Dit lijkt een absurde vraag. We gaan daar altijd van uit. Het is vanzelfsprekend, maar kunnen we het ook beredeneren? Het antwoord is ja. Als we uitgaan van identieke balken. Identieke balken zijn balken die we op geen enkele manier van elkaar kunnen onderscheiden als we ze door elkaar gehusseld hebben. Je weet echt niet welke welke is. Wanneer twee van dergelijke balken door de lege ruimte bewegen, moeten ze verwisselbaar zijn: wanneer je op PQ zit te kijken naar AB  moet je hetzelfde zien als wanneer je op AB zit te kijken naar PQ, namelijk een balk ter lengte r die met zekere snelheid  beweegt,  want als je op PQ zittend de balk AB met een grotere snelheid voorbij ziet vliegen dan je op AB zittend de balk PQ voorbij ziet vliegen, dan is er een onderscheid ontstaan: een snelle balk AB en een langzame balk PQ. De balken zijn niet meer identiek! Dat is in strijd met ons uitgangspunt. 
Wanneer dit in de lege ruimte geldt, geldt het ook in een ruimte die gevuld is met lucht of water, want bij snelheidsmetingen speelt het tussenliggende medium geen rol.

Van het resultaat maken we gebruik. In stappen gaan we naar de conclusie:

Wanneer je de snelheid v van de balk AB wilt meten, dan meet je de afstand waarover de balk zich heeft verplaatst en je deelt dat door de tijd die de balk daarvoor nodig had. We beschouwen daartoe het punt B (zie fig. 2.21) en we meten de tijd die B er over doet om van P naar Q te geraken. Vervolgens delen we de afstand van P naar Q door de tijd en we verkrijgen de snelheid. Dat kan op twee manieren: we kunnen dat zelf doen, vanaf de grond met onze klokken, of we laten het cowboy B doen vanaf de balk met zijn klok (het symbool voor de tijd die met een klok op de bewegende balk wordt gemeten, is τ, de Griekse letter tau).

We krijgen twee uitdrukkingen:

Omdat de snelheid voor beide stelsels v is, mogen we de uitdrukkingen gelijkstellen:

                         of    

Uit de eerste vergelijking zie je dat de verhouding tussen lengte en tijdsduur constant is. Als je een gekrompen lengte meet voor de bewegende balk, vind je ook een kortere tijdsduur voor de passage van de balk. Voor de tijdsduur   t_Q – t_P en  τ_Q – τ_P schrijven we nu t en τ waarmee de laatste uitdrukking wordt: 

     of, 

wat op hetzelfde neerkomt:      of        

Over de verhouding kunnen we een zeer duidelijke uitspraak doen door de tijdsduur van de lichtsignaal tussen A en B volgens de cowboys en volgens ons te vergelijken:

De tijdsduur volgens de cowboys staat in verhouding tot die volgens ons als:
               

Verder strepen we de gelijke constanten in de uitdrukking tegen elkaar weg en we schrijven voor de tijdsduur, het tijdverschil τ₂ – τ₁ en t₂ – t₁ weer gewoon de tijd τ of t. Zo verkrijgen we:

We hebben nu twee uitdrukkingen voor de verhouding τ / t en deze moeten dus gelijk aan elkaar zijn:

     en    

Dan moet gelden:      of    

dus        

Met de laatste uitdrukking vinden we de door ons gemeten lengte r van de bewegende balk die volgens de cowboys een lengte ℓ heeft:

                                                 "kortere balk"

Formules waar we regelmatig op terugkomen, zullen we voor de gezelligheid een naam geven.

Omdat         altijd kleiner is dan één, volgt daaruit dat de bewegende balk korter is dan de balk in rusttoestand.

Dit is het resultaat dat Einstein ons onthield, waarschijnlijk om de lijn van zijn betoog niet te onderbreken. Hij zal wel hebben aangenomen dat iedereen dit zelf al lang had uitgezocht!

Voor de tijd op de bewegende balk geldt dus dat hij "langzamer" is dan onze tijd:

                                 "langzamere tijd"

Met "langzamer" wordt hier bedoeld dat het leven op de balk trager verloopt dan bij ons. Als ze een klok hebben waarvan de slinger volgens hen iedere seconde heen en weer gaat, dan meten wij dat die slinger er bijvoorbeeld twee seconde over doet. De klok tikt er trager (volgens ons). Hoe klein de effecten bij gewone snelheden ook zijn, als we naar een bewegend stelsel kijken, bekijken we altijd een vertraagde film.

We leggen vervolgens dat eerder gevonden, wonderlijke resultaat (zie §2) ernaast dat klok B volgens de cowboys vóórliep op klok A terwijl wij de cowboys hadden geïnstrueerd de klokken gelijk te laten lopen. Dat voorlopen volgt niet direct uit het trager lopen van de klokken. De twee klokken zouden trager kunnen lopen, maar onderling toch gelijk. Om de juiste tijd op de bewegende balk te vinden, zullen we dit gegeven erin moeten verwerken.

We zetten op zeker moment, in samenwerking met de cowboys, klok A gelijk met onze klokken. De cowboys laten volgens hun inzicht klok B gelijklopen met klok A, door klok B een stukje terug te zetten. Wij constateren dat klok A en B langzamer lopen dan onze klokken en dat klok B nog weer een stukje achterloopt op A. Klok B loopt even snel (of even langzaam) als klok A, maar sukkelt er een stukje achteraan.

We zullen bepalen hoeveel klok B achterloopt op klok A en we zullen het resultaat zowel in onze tijd t als met de tijd τ van de cowboys weergeven.

Uit de meting van de cowboys waarbij ze een gat in het wegdek schoten, bleek dat de voorste klok vóórliep als de klokken volgens ons gelijkliepen. We kunnen precies vertellen hoeveel de voorste klok B volgens die meting vóórloopt op de achterste klok A. Je neemt gewoon het verschil van de twee tijdmetingen die we vonden voor de tijd die het licht erover doet om van A naar B te gaan en om van B naar A te gaan (zie §2 blz.4 ) en we rekenen dat eerst uit:
                     
→ Geef beide termen dezelfde noemer (= onder de deelstreep) namelijk (c–v) .(c+v)

                     
→ Een handigheidje: beide termen zijn eigenlijk met één vermenigvuldigd, 
    want (c+v)/(c+v) = 1 en (c-v)/(c-v) = 1. 
De termen kunnen nu worden opgeteld omdat ze dezelfde noemer hebben:

                 
→ Werk de haakjes in de teller (= boven) weg

                 
→ Gebruik (c – v) . (c + v) = c² – v² =  c². (1– v²/c²)

en je krijgt: 
               

Als klok B één seconde voorloopt op klok A, dan duurt de heenweg van A naar B één seconde te lang en de terugweg duurt één seconde te kort. Het verschil (t_B – t_A) – (t'_A – t_B) is dan twéé seconde. Het vóórlopen van de klok tikt dubbel door! We moeten de gevonden uitdrukking dus door twee delen om te weten te komen hoeveel klok B vóórloopt op klok A. Dat levert het tijdverschil Δt op.

                               "te vlug geschoten"

Met de gevonden waarde loopt volgens de meting van de cowboys klok B vóór op klok A als beide klokken gelijk en even snel lopen als onze klokken. Wij nemen het echter niet waar en moeten ons verlaten op hun meting.

Als de cowboys klok B, volgens hun inzicht, gelijk laten lopen met klok A zal volgens óns klok B met de genoemde tijd Δt àchterlopen op klok A.

Het achterlopen is, zoals je ziet uit de formule "te vlug geschoten", afhankelijk van de lengte van de balk. Hoe verder B van A afligt, hoe groter het tijdverschil. We weten al dat de klok in het bewegende stelsel trager tikt. De tijd van B is afhankelijk van zijn plaats. Omdat B op ieder punt in de ruimte langs de x-as kan worden gekozen, is het van belang om een uitdrukking voor de tijd τ_B van het punt B (waarvan de plaats op de x-as in zijn algemeenheid x wordt genoemd) te vinden, omdat je dan een algemene uitdrukking voor de tijd τ hebt die overal langs de x–as geldig is.

We laten zien welke tijd voor cowboy B geldt:

De tijd τ_B van B loopt dus ten opzichte van de tijd τ_A van A een stukje Δτ achter.

τ_B = τ_A - Δτ

Het stukje Δτ kennen we in eerste instantie niet, maar we kennen wel het stukje Δt (volgens onze tijdaanwijzing) dat de klok B achterloopt op klok A. Maar dan kunnen we Δτ uitrekenen want we hebben gezien dat tussen de tijd op onze klokken en de tijd op de klokken van de cowboys de relatie "langzamere tijd" geldt:      
Voor de tijdsduur geldt zo eveneens:

                = = 
               

Hiermee wordt:
            

Dit gaan we herschrijven.

De plaats (= de x-waarde) van het punt B ten opzichte van een beginpunt op de grond, de oorsprong van het stelsel-in-rust, is voor ons op ieder tijdstip t in de x –richting r groter dan de plaats van A. (Zie figuur 2.22). Als we afspreken (hetgeen betekent dat we het op die manier aanpakken, of je het er mee eens bent of niet!) dat A zich op het tijdstip t = 0 op de plaats x = 0 bevindt, dan is de plaats van A op het tijdstip t gelijk aan v . t . De balk vliegt nou eenmaal met de snelheid v langs onze observatieposten. Omdat wij een lengte r voor de balk meten, is de plaats van B volgens ons op dat tijdstip
x = v . t + r.
Er geldt dus r = x – v . t

We vullen voor de plaats r in het bewegende stelsel van het punt B in: r = x – v . t., waarbij x en t waarden zijn die in het stelsel-in-rust gelden (zie fig. 222). Daarmee krijgen we voor t_B drie termen:

De eerste en de laatste geven we dezelfde noemer en we zetten ze bij elkaar:

Het is een beetje puzzelen. Nu breng je de eerste en de tweede term aan de rechterkant onder dezelfde noemer:

Dit vereenvoudigen we verder tot een overzichtelijke vorm en in plaats van τ_B schrijven we gewoon τ , omdat deze formule algemeen voor de tijd van een punt dat zich op een willekeurige plaats bevindt in het bewegende stelsel, op de balk dus, voor ieder tijdstip t in het stelsel-in-rust en voor iedere plaats x in het stelsel-in-rust geldt:

Deze formule bevat venijn: omdat de wortelvorm kleiner is dan één, zou je denken dat τ groter is dan t. Als je x constant houdt, klopt dat. Je kijkt dan als het ware telkens naar nieuwe klokken die vervolgens verdwijnen in de x-richting. De voorste klok liep achter op de achterste en de achterste, laatst geziene klok loopt dus voor op de voorste. Het beeld verschuift. De tijd op de opeenvolgende klokken die je ziet passeren, loopt sneller dan onze tijd.

Als je één klok in de gaten houdt, neemt zijn plaats x toe met v . t. De term tussen haakjes wordt dan:

Hiermee wordt Δτ = ,    "langzamere tijd" , zoals verwacht kleiner dan t. Dan loopt de klok in het stelsel-in-beweging trager dan in het stelsel-in-rust.

De formule is van groot belang in het verhaal van Einstein. In de volgende paragraaf zullen we hem opnieuw tegenkomen, maar dan volgen we de afleiding die Einstein ervoor gaf.

We hadden gezien dat de voorbijvliegende balk korter wordt gemeten dan dezelfde balk in rust. Omdat elke afstand in gedachten door een balk kan worden voorgesteld, zal iedere afstand in een bewegend stelsel korter worden bevonden.

De vraag of de balk nou werkelijk korter is, moet met ja worden beantwoord. De cowboys meten de lengte ℓ en wij meten r . De balk is niet veranderd, maar hij neemt in bewegende toestand minder lengte in dan in rust.

Onder stap 3 hadden we voor de lengte van de bewegende balk gevonden:

                r =
Zoals we eerder hadden gezien , is r = x – v . t

            Dus = x – v . t

Figuur 2.22 De plaats van het punt B

De lengte ℓ is de plaats van punt B in het bewegende stelsel en het punt x is de plaats van het punt B in ons stelsel. Zo vinden we de relatie tussen de plaats van het punt B in ons stelsel en in het cowboy-stelsel:

                    ℓ =
Om de waarden die voor het bewegende stelsel gelden duidelijk te kunnen onderscheiden van de waarden in het stelsel-in-rust, gebruikt Einstein hiervoor Griekse letters. Voor de tijd was dat de τ (tau) en voor de plaats in de x–richting wordt het de letter ξ (xi). In het bewegende stelsel mag je dan praten over de ξ–richting en over de ξ–as van dat stelsel.

Daarmee schrijven we de formule als:

                    ξ =

Dit is de tweede , zeer belangrijke formule die Einstein afleidt in zijn artikel.

We hebben twee belangrijke formules gevonden, waarmee het mogelijk is van een bepaald punt de plaats ξ en de tijd τ op de balk te vinden als je van dat punt de plaats x en de tijd t uit onze waarnemingen kent:

                    ξ =          "plaatsformule"

                                 "tijdformule"

De twee formules heten officieel de Lorentztransformaties.

Opmerkingen:

1^ste De meetprocedure van Einstein gaat uit van een lichtsignaal dat in dezelfde richting als de beweging van de balk wordt heen en weer gezonden. Wat nu als het licht loodrecht op de bewegingsrichting wordt uitgezonden? We laten daartoe een balk met een lengte ℓ, waarop zich in de punten A en B de cowboys bevinden, loodrecht op zijn lengteas bewegen. De cowboys meten voor de tijd die het licht over de heen– en terugreis langs de balk doet:

τ = 2. ℓ/c.

Voor ons gebruikt het licht meer tijd (zie figuur 2.24) omdat de afstand van A naar B* en vervolgens van B* naar A* groter is dan tweemaal de afstand van A naar B.

De afstand van A naar B* en terug van B* naar A* is (volgens Pythagoras). De tijd die het licht er voor ons over doet is dus t = .

Door beide zijden van deze vergelijking te kwadrateren krijg je:

t² = (4/c² ). (ℓ² + (v . ½t)² = 4.ℓ²/c² + v².t²/c^2.

Hiermee wordt t² . ( 1 – v²/c²) = 4.ℓ²/c² en t =     

Als je dit vergelijkt met de tijd van de cowboys τ = 2. ℓ/c, blijkt er uit dat

.

Ook op deze manier blijkt de tijd in het bewegende stelsel langzamer te verlopen dan in het stilstaande stelsel. We zijn er hierbij vanuit gegaan dat de afstand AB, de lengte van deze bewegende balk niét verandert, terwijl hij in de bewegingsrichting wel verandert.

2^de Wij constateren dat de tijd langzamer verloopt in het bewegende stelsel dan in het stelsel-in-rust. Als we de cowboys twee van onze perfect lopende klokken hebben meegegeven, gaan die dan daadwerkelijk langzamer lopen? Hoe kunnen we ons dat voorstellen? Dat vraagt nogal wat van je fantasie. Het is bovendien complex, want vanwege de gelijkwaardigheid van de twee stelsels, de symmetrie,  moeten de cowboys, omgekeerd, ook onze klokken langzamer "zien" lopen. Kan dat wel? Is dat niet in strijd met elkaar of is het gezichtsbedrog?

Het antwoord luidt uiteraard: "Het is de harde realiteit".

We zullen nu laten zien, aan de hand van een voorbeeld, hoe het mogelijk is dat wij hun klokken langzamer zien lopen terwijl zij onze klokken langzamer zien lopen.

We gaan uit van twee zeer lange balken (zie fig. 2.25). 
De bovenste lijn 1 is de stilstaande balk met het nulpunt P in de oorsprong. De tijd voor het hele stelsel is t = 0.
Lijn 2 stelt de bewegende balk voor met het nulpunt A in de oorsprong. Deze balk heeft een snelheid v = 0,6.c m/s (= 0,6 maal de lichtsnelheid) parallel aan de stilstaande balk. De tijd geven we aan met t.
Als P en A elkaar passeren geldt voor beide punten de tijd  t = t = 0 sec. Voor het stilstaande stelsel is dit de tijd voor het gehele stelsel, voor het bewegende stelsel geldt deze tijd alleen in het punt A. De tijd in het bewegende stelsel gaat bovendien trager met een factor = 0,8.

In het stilstaande stelsel plaatsen we klokken op een afstand van 0,6 . c meter. Dus iedere hele seconde (in het stilstaande stelsel) passeert het punt A een volgende klok in het stilstaande stelsel. 
In het stelsel-in-beweging staan ook ten opzichte van A  klokken op een onderlinge afstand van 0,6.c m. Omdat afstanden korter zijn als je ze beziet vanuit het stelsel-in-rust, is de onderlinge afstand volgens ons 

     =      0,8 . 0,6 . c = 0,48 . c meter.

De tijden die de klokken op de bewegende balk aangeven op het moment dat A het punt P passeert (volgens afspraak het tijdstip t = t =  0), zijn er bij geschreven. Het punt B bijvoorbeeld, dat op 0,48.c meter op A voorligt in de bewegingsrichting, heeft de tijd τ = – 0,36 seconde. Dit kan vlot worden berekend met de formule "te vlug geschoten".

Lijn 3 geeft de situatie aan na 1 seconde. A passeert dan de klok bij Q, die dan uiteraard 1 seconde aangeeft. Maar de klok van A is langzamer, die geeft 0,8 seconde aan. Van enige punten staat de tijd erbij geschreven, te vinden door bij de tijden van de tweede lijn  0,8 sec op te tellen. Maar voor de "tijd" van het stelsel-in-beweging geldt de tijd van klok A: de "tijd" loopt er achter.

Na precies 4 seconde (zie lijn 4) passeert klok A (zie lijn 5) voor de vierde keer een klok (R). Die geeft aan: 4 seconde. De klok van A geeft dan aan 3,2 seconde. Ten bewijze hiervan maken we een flitsfoto, waar beide klokken op staan als ze elkaar passeren. Klok A loopt achter op R en dus op alle klokken van ons stelsel, want onze klokken lopen gelijk. De "tijd" van het bewegende stelsel loopt trager dan onze tijd.

De situatie vanaf de bewegende balk bekeken, ziet er anders uit (maar eigenlijk hetzelfde). Als we de bewegende balk (lijn 5)  met A en B  als het rustende stelsel accepteren (let op: de schaal in lijn 5  is kleiner dan in lijn 1) en het stelsel met P en Q als het bewegende stelsel (lijn 6), dan moeten we eerst afspreken wat de"tijd"   voor het stelsel met P en Q is: natuurlijk , zoals we het ook voor het bewegende stelsel AB hadden afgesproken,  de tijd van de klok in P. 
Op het moment dat R het punt A passeert - de gebeurtenis kan niet worden ontkend, maar het tijdstip waarop dit gebeurde wordt betwist - wijzen de klokken van het stelsel met A en B het tijdstip t = 3,2 sec aan. Welke tijd geldt dan voor het stelsel met P en Q? Dit laatste stelsel heeft nu van plaats tot plaats verlopende tijden, te berekenen met "te vlug geschoten". Te berekenen is dat de tijd in P op 2,56 sec uitkomt en die tijd is de "tijd" voor het gehele stelsel met P en Q. Dus de tijd van het stelsel PQ loopt achter op de tijd van stelsel AB. Via een flitsfoto vanuit het stelsel AB als klok P één van de klokken van AB passeert, is het bewijs te leveren. 

Waar we wel aandacht aan zullen besteden, omdat het een goede voorbereiding is op de beschouwingen bij komende paragrafen, is de weergave van de lengte van de bewegende balk en de tijd in het stelsel–in–beweging in een geometrische figuur, de rechthoekige driehoek. De term nodigt daar namelijk toe uit. Bekijk figuur 226, een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde de waarde c heeft en de korte zijde de waarde v , dan heeft de lange rechthoekzijde DF , volgens de stelling van Pythagoras, de waard 

                 . 

Dus DF = EF . . 

Tussen DF en EF bestaat dezelfde relatie als tussen r en ℓ in de formule voor de "kortere balk"  die we eerder hebben gezien: r = ℓ .

De "kortere balk" heeft een lengte die meetkundig gezien gewoon de projectie van de schuine zijde op de lange rechthoekzijde is (zie figuur 226).

In de figuur er naast (fig. 227) zijn de afstanden door c (de lichtsnelheid) gedeeld. De lange rechthoekzijde heeft dan de lengte .

Wanneer je de afstand deelt door de lichtsnelheid c geeft de uitkomst de tijd weer die het licht over die afstand doet. De driehoek geeft dus tijden weer.

In deze rechthoekige driehoek gelden voor de onderlinge verhoudingen van de lengten van de lijnen waar de driehoek uit opgebouwd is:

Schuine zijde : korte zijde : lange rechthoekzijde c : v : = 1 : v/c : . De verhouding blijft hetzelfde als alle drie getallen met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd.

Deze verhouding geldt in iedere driehoek die met de genoemde driehoeken gelijkvormig is.

Zo’n driehoek zullen we "De driehoek met de bekende verhoudingen" noemen.

We zoeken uit of we in Figuur 227 ook de formule "te vroeg geschoten" terug kunnen vinden. We tekenen daartoe de bewegende balk met de cowboys A en B en de identieke balk-in-rust PQ (zie blz. 1), waar wij ons op bevinden, in één figuur, figuur 228. De punten A en P vallen samen, hetgeen betekent dat op het moment dat A het punt P passeert de tijden in A en P gelijk worden gezet. Deze twee punten hebben op dat moment dezelfde tijd. De twee balken maken net zo’n hoek met elkaar als de scherpe hoek in "de driehoeken met de bekende verhoudingen". Als we vanaf een punt op de lijn AB een loodlijn neerlaten op de lijn PQ ontstaat er weer zo’n driehoek met bekende verhoudingen en evenzo als we vanaf PQ een loodlijn neerlaten op AB.

In de hier getekende figuur kan je de verkorting van de bewegende balk terugvinden als de lengte AB’ , de projectie van AB op PQ, maar ook de verkorting van de tijd is in deze driehoek terug te zien. Als we een zekere tijd in het stelsel-in-rust weergeven met de afstand PQ dan is de benodigde tijd in het stelsel-in-beweging te vinden door de projectie van PQ op AB te nemen, namelijk AQ’ .

Ook de driehoeken BB’B’’ en QQ’Q’’ zijn driehoeken met de bekende verhoudingen en als je hiervan gebruik maakt, kan je laten zien dat BB’’/c de formule "te vlug geschoten" volgens onze klokken weergeeft:

Bedenk dat AB' de lengte voorstelt zoals wij waarnemen, eerder aangegeven met r.

De formule "te vlug geschoten" volgens de tragere klokken van de cowboys is terug te vinden in QQ’/c of wat op hetzelfde neerkomt:BB’/c :        

Opmerkingen

Oefening 6

We zullen nog wel vaker die rechthoekige driehoek terugzien met de verhoudingen: c "staat tot" v "staat tot" √(c² – v²) . Korter geschreven als c : v : √(c² – v²) . De"driehoek met de bekende verhoudingen". 

De stelling van Pythagoras werd er op de middelbare school ingedreund als: a² + b² = c², waarbij a en b de lengten van de rechthoekzijden waren en c de lengte van de schuine zijde. De lengten verhouden zich dus als a : b : c .

Laat zien dat deze verhouding ook geschreven kan worden als a/c : {√(c2 – a2)}/c : 1.

Hierbij is de lengte c gelijk aan één gesteld. Je mag natuurlijk ook a of b op 1 stellen, dan komt er in de plaats van de eerste term een 1 te staan of in de plaats van de tweede term.

	Een bekende verhouding voor een rechthoekige driehoek is 3 : 4 : 5. Klopt Pythagoras?
	Als we de lengte 5 op één stellen, bereken dan de term met het wortelteken en laat zien dat daar 4/5 uitkomt. De andere zijde heeft dan het verhoudingsgetal 3/5. Stel dat deze laatste zijde een echte lengte heeft van 50 cm, laat dan zien uit de verhoudingen dat de andere zijden de lengten 66,7 cm en 83,3 cm hebben.

Is de balk echt korter?

Om op deze vraag een definitief antwoord te geven, beschieten we de passerende balk met twee kanonnen die op een geringere afstand van elkaar staan dan de lengte van de balk. De kannonnen schieten hun kogels loodrecht omhoog. De balk is 100 meter lang en de snelheid van de balk is 0,8 x de lichtsnelheid c m/s, zodat wij hem waarnemen met een lengte van 60 m (immers √(1–0,8²) = 0,6). We zetten de kannonnen op een afstand van iets meer dan 60 m, maar lang geen 100 m. Op het moment dat de balk passeert, schieten we tegelijkertijd de twee kannonnen af. Het kan geen kwaad volgens ons, want de voorste kogel zal voorlangs gaan en de achterste zal achterlangs gaan. Dat is precies wat we waarnemen: ze vliegen tegelijkertijd langs de balk op een onderlinge afstand van iets meer dan  60 m. De balk wordt niet geraakt!

Wat vinden de cowboys daar nou van. Deze onverschrokken jongens kijken niet op van een kogel meer of minder. Het enige wat hen verbijstert, is dat wij zo mis konden schieten. Voor open doel! De kannonnen staan immers op een onderlinge afstand van maar net 36 m volgens de cowboys. Want ook voor hen geldt weer dat √(1–0,8²) = 0,6, dus onze 60 m is voor hen 0,6 x 60 m = 36 m, terwijl hun balk 100 m is. Hoe kregen wij het voor elkaar! Nou, dat hebben ze best gezien: het voorste kanon schoot net te vroeg en het achterste kanon schoot net te laat. Hier geldt weer de formule "te vlug geschoten". 

Volgens de cowboys

Als je dit invult met v = 0,8 x c en AB = 100 m, krijg je Δτ = 80/c seconde. In die tijd legt de balk precies v x Δτ = 64 m af. Samen met de 36 m die de kannonnen uit elkaar staan, levert dat 100 m op.  Zij zagen op zeker moment de voorste kogel vlak voorlangs gaan en 80/c seconde later de tweede kogel net achterlangs gaan..

"Die kunnen niet schieten!", zullen ze denken..

Als we volgens de cowboys de twee kogels gelijktijdig hadden afgeschoten, zouden ze op een afstand van 36 m van elkaar in de balk zijn gedrongen, maar dat is niet  waar het om ging. Als je de juiste momenten uitkiest kan je de kogels ook op dezelfde plek in de balk schieten. Het ging er om of je uit twee kannonnen, die maar 60 m van elkaar afstonden, tegelijkertijd twee kogels op een balk van 100 m lengte af kon schieten waarbij de kogels voor en achterlangs zouden gaan. Het antwoord is ja. De balk is volgens ons echt maar 60 m.

Oefening 7

Er suist een balk met een lengte van exact 1000 km door het heelal met een snelheid van 240.000 km/s   (4/5 de van de lichtsnelheid). Voorop zit cowboy B en achteraan zit cowboy A. De balk scheert vlak langs de aarde en wij meten zijn lengte.

Toon aan met de formule "Kortere Balk!" dat de lengte die wij meten gelijk is aan: 600 km!

Beide cowboys laten hun klokken precies gelijk lopen met de klokken op aarde.

Bereken met de formule "Te vlug geschoten" dat cowboy A de klok van B met 4,44 duizendste seconde voor vindt lopen.

Niet iets om je druk over te maken.

Oefening 8

Een voorwerp met een lengte (in rust gemeten) van 100 meter suist in zijn lengterichting voorbij de aarde met een snelheid van tweetiende van de lichtsnelheid. De gezagvoerder laat ons groeten via lichtflitsen die hij naar eigen zeggen iedere 0,1 sec afvuurt.

Welke lengte heeft het voorwerp voor de aardbewoners en hoeveel tijd zit er voor hen tussen de opeenvolgende lichtflitsen? Gebruik de formules "kortere balk"en "langzamere tijd".

Opmerking: Houd de afstand van het voorwerp tot de aarde constant. De effecten die het gevolg zijn van het naderen of het zich verwijderen van het voorwerp leiden er toe dat het voorwerp er bij nadering langer uitziet en bij het zich verwijderen korter, omdat het licht van het verst verwijderde punt van het voorwerp eerder moet zijn uitgezonden dan van het meest nabije punt. Voor de lichtflitsen geldt dat ze bij nadering sneller binnenkomen en bij het zich verwijderen trager. Bij de gevraagde berekening gaat het niet om deze effecten!

Antwoorden: 97,98 m en 0,10206 sec

Zullen we maar even pauzeren? 
Het begint me te duizelen!

Naar het begin
Naar Uitleg §3 Wiskundig avontuur