Uitleg

Naar  Centrale Hal
Naar   Inhoud van de Uitleg
Naar   Vertaling §8 Energie en stralingsdruk
Terug naar  Uitleg §7 Sterren of  §7plus Begrijpelijke afleidingen  
Naar  Alternatieve afleiding bij §8  
Naar Uitleg §9 Elektrische stromen

§8  De lichtenergie en de stralingsdruk zijn ook al afhankelijk van het stelsel van waaruit je het beziet.

Einstein was niet te temmen. Je zou denken dat hij nu wel voldoende voorbeelden heeft gegeven om te laten zien dat het relativiteitsprincipe in combinatie met de constante lichtsnelheid een alleraardigste theorie vormt waar best wat mee te doen is, maar nee, hij past het toe op alles wat los en vast zit. In deze paragraaf zal hij onderzoeken of de energie van een hoeveelheid licht binnen een zeker volume aan verandering onderhevig is indien het wordt gemeten vanuit het stelsel-in-beweging.
Je vraagt je af wie daar nou een probleem van zou willen maken. Nou, Lorentz natuurlijk!! En als Lorentz zich over een probleem boog, dan was het een probleem waar de gehele toenmalige wetenschap mee bezig was: een groot probleem (Lorentz Versuch p.110–114).

Einstein past hier een originele bewijsvoering toe.Het probleem is, stelt hij direct aan het begin, dat het volume waarin zich een zekere hoeveelheid licht bevindt, in het stelsel-in-beweging verschilt van dat in het stelsel-in-rust. Anders was het gemakkelijk, want de energiedichtheid van licht wordt volgens de wetten van Maxwell gevonden met A²/8π in het stelsel-in-rust en met A' ²/8π in het stelsel-in-beweging. De verhouding A²/A' ² zou dan de verhouding van de energiehoeveelheden aangeven.

De uitdrukking voor de energiedichtheid A²/8π , waarin A de amplitudo is, was een bekende formule die uit de theorie van Maxwell ¹) volgt.

J.C.Maxwell:" A treatise on electricity and magnetism"’ deel 2 p. 440–441.

Zoals we in het begin van §4 hebben gezien, geldt voor de punten (x, y, z) op een boloppervlak met de straal R:

x² + y² + z² = R².

Bekijk vanuit het stelsel–in–rust een "hoeveelheid licht" dat zich in een bolvormig volume bevindt.

Denk aan vlakke golven die zich door de ruimte spoeden. Het bolvormige volume beweegt mee met het licht. De hoeveelheid licht die in de bol zit, blijft dus hetzelfde.
We volgen een lichtstraal in een willekeurige richting, waarvoor de richtingscosinussen a, b en d gelden (zie fig. 801). De formule voor de straal R van deze bol op het tijdstip t is:

(x – a.c.t)² + (y – b.c.t)² + (z – d.c.t)² = R² (Voortijlende bol)

Het centrum van de bol bevindt zich op het tijdstip t op de plaats (act, bct, dct). Ga zelf na dat (act, bct, dct) een rechte lijn door de oorsprong voorstelt als je t allerlei verschillende waarden geeft. Met positieve waarden voor a, b, en d krijg je een beweging zoals in figuur 801 is weergegeven.

Iemand vraagt zich misschien af hoe een bol een snelheid gelijk aan die van het licht kan hebben, terwijl we eerder hebben gezien dat een bol met die snelheid zo plat als een pannenkoek is. Daar heb je een punt!

Als wij in het stelsel–in–rust deze vorm als een bol zien, moet de vorm in het stelsel–in–beweging, dat met de lichtsnelheid voortbeweegt, oneindig groot zijn in de bewegingsrichting. De afmetingen zijn immers γ keer zo groot in het stelsel–in–beweging, omdat wij in het stelsel–in–rust de afmetingen γ keer zo klein zien. Denk aan de balk met de cowboys erop, die werd door ons als korter gemeten. Zoals je weet: . Met v=c wordt γ gelijk aan oneindig. Als je zelf met de voorkant van de bol zou meebewegen, zou je de achterkant van de bol nooit kunnen waarnemen, want het licht van de achterkant kan nooit de voorkant bereiken. Voor– en achterkant zijn dan "oneindig ver" van elkaar verwijderd. Wij kunnen ons dus een bolvormig volume voorstellen dat zich met de lichtsnelheid voortbeweegt.

Figuur 801 Het met de lichtsnelheid voortvliegende bolvormige volume

Het bolvormige volume zoals we dat in het stelsel–in–rust waarnemen, zal niet meer bolvormig zijn als het wordt waargenomen vanuit een stelsel–in–beweging. Daartoe zullen we de coördinaten van de bol gewoon transformeren.

Je herinnert je de transformatieformules:

waarmee de coördinaten in het stelsel-in-rust kunnen worden omgerekend naar de coördinaten in het stelsel-in-beweging en omgekeerd. We hebben zoiets eerder gezien. In §4 gingen we uit van een bol in het bewegende stelsel, waarvoor geldt x² +  h² + ζ² = R². Daar konden we probleemloos de transformatieformules invullen om de ellipsoïde te vinden die we in het stelsel-in-rust zouden waarnemen. Maar nu hebben we een bol in het stelsel-in-rust, we moeten nu terugtransformeren, om de vorm te vinden in het stelsel-in-beweging. Dat gaat simpeler dan je tevoren zou denken. Beide stelsels zijn namelijk gelijkwaardig. Je mag het stelsel-in-beweging rustig opvatten als het stelsel-in-rust en het stelsel-in-rust zien als het stelsel-in-beweging dat met een snelheid –v ten opzichte van jouw stelsel beweegt. Dan verwissel je x voor ξ, enzovoort, en v voor –v en je krijgt de volgende transformatieformules voor x, y, z en t:

x = γ ( x + v.τ);     y = h ;      z = ζ ;     t = γ(τ + )
met                γ =

Omdat verder de vorm van de voortijlende "bol" niet afhangt van het tijdstip waarop je er naar kijkt, nemen we voor dat tijdstip, heel slim, τ = 0. Het centrum van de bol bevindt zich dan in de oorsprong van beide stelsels. Bedenk dat voor t = τ = 0 de oorsprong van het stelsel–in–beweging net de oorsprong van het stelsel–in–rust passeert.

Je kan eerst de formule voor de "Voortijlende bol" compleet uitschrijven en daarna τ = 0 invullen, maar dat blijkt geen verschil te maken het direct vereenvoudigen van de transformatieformules met τ = 0.

Dan worden x en t eenvoudig: x = γ . x en t = . Aan y en z verandert niets. De getransformeerde bol, de "Voortijlende bol" bol gezien vanuit het stelsel-in-beweging op het tijdstip τ = 0 wordt dan:

(γ.x – a. c. )² + (h – b.c. )² + (ζ – d.c. )² = R² .

Dit kunnen we nog een beetje vereenvoudigen tot:

γ². (x – a. )² + (h – b. γ . )² + (ζ – d. γ. )² = R² .

Wanneer je nu denkt; "Dit wordt mij allemaal teveel!", kijk dan eens naar de Alternatieve afleiding bij §8.

Om te begrijpen wat dit voor een vorm is, bekijken we eerst eens het resultaat voor ξ = 0:

h² + ζ² = R²

Dit is een cirkel met straal R. De betekenis hiervan is dat in het stelsel-in-beweging de bol in het ηζ–vlak loodrecht op de voortplantingsrichting van dit stelsel, nog steeds een grootste cirkel met straal R als doorsnede heeft. De bol is echter afgeplat of opgerekt in de x–richting en vervormd met een as in de bewegingsrichting van de bol. Een soort ellipsoïde (zie fig. 802).

We proberen de lengte van de bol in de x–richting te vinden.
Bij zekere x wordt de omtrek van de "bol" in het verticale vlak gegeven door de cirkel:

(h – b. γ . )² + (ζ – d. γ. )² = R² – γ². (x – a. )²

met het middelpunt (h *, ζ*) = (b. γ . ,  d. γ. ).  
De middelpunten vormen een lijn vanuit het centrum in de richting van de bewegingsrichting van de "bol" tot aan de rand van de "bol". De straal van de verticale cirkel op de plaats x wordt gevonden via de wortel uit

R² – γ². (x – a. )².

Deze straal wordt nul als R² – γ². (x – a. )² = 0

Figuur 802 De scheef getrokken, afgeplatte bol als het stelsel–in–beweging de bol tegemoet komt

Hieruit volgt:            x = + of –

Van deze merkwaardige vorm kunnen we de inhoud berekenen door de oppervlakten van de verticale cirkels te integreren vanaf het punt                 x _min =  

tot aan het punt              x _max =  

De inhoud S' wordt dan gevonden door van het punt x _min tot aan het punt x _max te integreren:

Invullen en zorgvuldig uitwerken levert: S' =       

De inhoud van de bol in het stelsel–in–rust is: S =   

De verhouding is dus:     

Achter het laatste (=) teken is voor de richtingscosinus a de waarde cos φ ingevuld en voor γ is ingevuld              .

Let op: als het stelsel–in–beweging de bol tegemoet komt is v/c negatief en dan is S'/S < 1 . De bol is in de x–richting afgeplat. Omgekeerd als het stelsel–in–beweging tracht te ontkomen aan de bol, dan is v/c positief en S'/S > 1. De bol is in de x–richting uitgerekt.

De inhoud van de vervormde bol kan ook zonder integreren worden gevonden. Omdat de bol gewoon uit cirkelvormige plakken bestaat, die in het verticale vlak een beetje verschoven zijn ten opzichte van elkaar, mag je ze in gedachten weer goed schuiven en dan hou je een ellipsoïde over, een omwentelingslichaam rond de x–as, met een straal in horizontale richting van . Bij een bol is die straal R, dus heeft deze ellipsoïde een inhoud die keer zo groot is, precies de waarde die we hierboven hadden afgeleid. Misschien dat Einstein deze methode bedoelde in zijn artikel waar hij zegt: "…..laat een eenvoudige berekening zien dat …..".

Je zou het bijna vergeten, maar we waren bezig te achterhalen hoeveel lichtenergie E in het stelsel-in-rust in de bol wordt waargenomen en hoeveel vanuit het bewegende stelsel wordt waargenomen. Daartoe moet de gevonden verhouding worden vermenigvuldigd met de lichtenergie per volume-eenheid A' ²/8π respectievelijk A² / 8π.

We maken nu gebruik van de net gevonden verhouding S' / S en wanneer je tegelijkertijd gebruik maakt van de uitdrukking voor de amplitudo in het stelsel–in–beweging van de vorige paragraaf:

levert het als uitkomst op:

Om de betekenis hiervan te begrijpen, stelt Einstein voor om de formule te bekijken voor de situatie dat het bewegende stelsel en de bewegingsrichting van de bol samenvallen: φ = 0 , dus cos φ = 1. We krijgen dan op eenzelfde manier als in de vorige paragraaf voor de verhouding A'²/A² van de intensiteit:

 

Dit stukje besluit Einstein met op te merken dat het toch wel merkwaardig is dat de energie-inhoud van de lichthoeveelheid op dezelfde manier verandert als de frequentie (zie §7 Dopplereffect). Dat lijkt een verkapte manier om te vertellen dat de theorie die hij enige maanden tevoren had gelanceerd over het foto-elektrisch effect, waarbij hij aannam dat licht uit "lichtdeeltjes" bestaat met een energie die evenredig is met de frequentie, een stevige steun in de rug krijgt met het net afgeleide resultaat.

In het vervolg van deze paragraaf gaat Einstein in op een probleem dat in de literatuur toentertijd heftig ¹) werd besproken: de stralingsdruk, speciaal op een spiegelend vlak. Maxwell was er al over begonnen en opperde dat het misschien mogelijk zou zijn mechanische energie te winnen door licht op een vlak te laten vallen (in een vacuüm) dat daardoor in beweging zou worden gebracht. Einstein moet goed op de hoogte zijn geweest van de discussies.

Hij gaat uit (blz. 914) van een volmaakte spiegel (100 % reflectie) die in het vlak x = 0 verticaal staat opgesteld. De spiegel is dus opgesteld in de oorsprong van het stelsel-in-beweging. We maken gebruik van vlakke golven, zodat de formules die in de vorige paragraaf en in het eerste deel van de huidige paragraaf werden afgeleid, van toepassing zijn. De vraag is welke lichtdruk op de spiegel wordt uitgeoefend en welke frequentie, welke intensiteit en welke richting het gereflecteerde licht zal hebben.

Als, bezien vanuit het stelsel-in-rust, voor de invallende bundel de amplitudo A , de richtingscosinus cos φ en de frequentie f is, dan gelden, zoals we hebben afgeleid, in het stelsel-in-beweging voor A',   cos φ' en   f ' de volgende uitdrukkingen,

;                                        (amplitudo)

;                                (richtingscosinus)

                                             (frequentie)

Figuur 803 Reflectie tegen een bewegende, volmaakte spiegel

Wanneer we met de spiegel zouden meebewegen en we zouden de amplitudo, de richtingscosinus en de frequentie aangeven met A'' , cos φ'' en f'' , dan zou het volgende gelden:

A'' = A' ;                 cos φ'' = – cos φ' ;                f '' = f '

Immers, we hebben dan te maken met een voor ons stilstaande spiegel, waarvoor de normale reflectie-eigenschappen gelden: de amplitudo. noch de frequentie veranderen. Alleen de hoek verandert.

De hoek φ'' van de teruggekaatste bundel wordt 180° – φ', vandaar het minteken.

Om er achter te komen welke amplitudo A''', welke frequentie f''' en welke richtingscosinus φ''' het licht dan in het stelsel-in-rust K zal hebben, dienen we even "gezellig" terug te transformeren, van het stelsel–in–beweging naar het stelsel–in–rust . Let op: bij dit terugtransformeren moeten we voor de snelheid – v invullen. Je krijgt:

Voor de grootheden met de dubbele accenten vullen we vervolgens de uitdrukkingen in die enkele regels terug staan aangegeven met een pijltje. Daarmee verkrijgen we:

Vervolgens kunnen we in deze laatst gevonden uitdrukkingen de grootheden met één accent vervangen door de uitdrukkingen van nog iets verder terug. We werken de zaak direct uit. Laat je niet afschrikken, het is niet veel meer dan breuken vereenvoudigen en wat haakjes wegwerken, maar het moet zorgvuldig gebeuren.

Voor de amplitudo A ''' krijgen we:

De richtingscosinus cos φ''' wordt:

Vermenigvuldig de hele teller en de hele noemer met (1 – ) :

Tenslotte verkrijgen we voor de frequentie f ''' :

Mooi, maar wat willen we hier eigenlijk mee?

Het zijn behoorlijk ingewikkelde uitdrukkingen, die de eigenschappen van de teruggekaatste bundel karakteriseren. Einstein laat één voorbeeld zien van wat je er mee kan doen. Hij leidt een formule af voor de druk p die het licht op de bewegende spiegel uitoefent bij het weerkaatsen. We zoeken dat uit.

Het maakt bij dit laatste niet uit wat de oorzaak is van het verplaatsen van de spiegel, de spiegel verplaatst zich niet vanwege het licht dat er op valt, maar toch verricht de opvallende bundel arbeid. Je kan zeggen dat de bundel het verplaatsen wat moeilijker of gemakkelijker maakt, afhankelijk van de bewegingsrichting van de spiegel.

Hoeveel energie bevat de opvallende bundel (zie fig. 804) en de teruggekaatste bundel, gezien vanuit het stelsel–in–rust, dat is de kwestie.

Figuur 804 Opvallende en teruggekaatste bundel tegen een bewegende spiegel

De energie per volume–eenheid van de opvallende bundel wordt door de uitdrukking A²/ 8π gegeven. Een lichtbundel met een doorsnede van 1 m² en een lengte van c meter bevat een hoeveelheid energie gelijk aan c. A² / 8π joule. Dat is de hoeveelheid energie die in 1 seconde loodrecht op een oppervlakte van 1 m² valt.

De lichtbundel komt echter onder een hoek φ op de spiegel. De energie wordt in toenemende mate verspreid over het oppervlak van de spiegel als de hoek φ groter wordt.

Laten we eerst even uitgaan van een stilstaande spiegel. De bundel die daar in één seconde tegenaan komt, heeft een lengte van c meter. Wanneer de bundel onder een hoek φ tegen een oppervlakte van 1 m² op de spiegel valt, moet de doorsnede van de bundel cos φ m² zijn. De energie in de lichtbundel ter lengte c meter is dus:

c. cos φ. A² / 8π

(Simpel hè)

Figuur 805 Energie die de spiegel bereikt

De spiegel beweegt echter. Een deel van de lichtenergie heeft in 1 seconde nog niet de spiegel bereikt. In figuur 805 is het stukje bundel dat de spiegel nog niet heeft bereikt met de kleur lichtblauw weergegeven. Het heeft een lengte van v / cos φ meter en een doorsnede van cos φ m². De inhoud van dit stukje bundel is v m³, even groot als van het gele stukje bundel dat er half achter verscholen ligt. Het bevat een hoeveelheid energie:

v . A² / 8π           (joule)

De hoeveelheid lichtenergie waar de spiegel in 1 seconde door wordt getroffen, is dus:

De hoeveelheid lichtenergie die in 1 seconde wordt gereflecteerd, is:

Het verschil tussen deze twee uitdrukkingen is de arbeid die door de lichtbundel op de spiegel is verricht:

Is dit nog leuk? Dit loopt echt de spuigaten uit. Valt hier nog iets aardigs van te maken?

Het gebruikelijke recept is: netjes uitwerken en niet mopperen! Na een aantal keren, waarbij je onderweg wat fouten maakt, zal je zeker goed uitkomen.

Het is overigens een te gekke oefening voor de aankomende student om voor eens en voor altijd goed met haakjes te leren werken.

Mocht je er zelf niet uitkomen, dan moet je je verlaten op het geloof in de uitkomst:

Het energieverschil      =

Het positieve energieverschil wordt veroorzaakt door de arbeid die de lichtbundel op de spiegel heeft uitgeoefend. De spiegel beweegt ook in de richting waarin de bundel hem zou doen verplaatsen als de bundel de enige kracht was die op de spiegel werkte.

Omdat arbeid gelijk is aan kracht x weg en de weg in 1 seconde gelijk is aan de afstand v , kunnen we uit de gevonden uitdrukking de kracht halen door de uitdrukking door v te delen. Aangezien we de bundel op 1 m² lieten vallen, levert dit de kracht per oppervlakte-eenheid, dat wil zeggen: de druk p.

Deze formule vinden we in het eerder aangehaalde artikel van M.Abraham op blz. 257 terug. De afleiding tot dit resultaat is echter aanmerkelijk ondoorzichtiger dan die van Einstein.

Bij dit resultaat zegt Einstein bescheiden dat als je v/c verwaarloost je de formule krijgt die uit laboratoriummetingen en andere theorieën al bekend was, namelijk:

om te eindigen met de opmerking dat je alle problemen uit de optica, die te maken hebben met het in beweging zijn van de bron of de waarnemer of een tussenliggend medium, op kan lossen door het probleem terug te brengen tot een probleem in het stelsel-in-rust.

(Hartstikke makkelijk! Gewoon doen!)

Naar boven